加法定理を使った三角不等式

質問

度々すいません。

数学IIの三角不等式で度々積の因数の正負を定められない事があり、困ってます。例題を挙げますと……

cos2x＞cosxを解け。 但し、0≦x＜2π

加法定理で左辺を変形して整理し因数分解すると

(2cosx+1)(cosx-1)＞0 …(1)
ここからです。
例えば、別の例として、
(cosx+2)(2cosx-1)＜0…(2)
なら、左の因数の正負が簡単に定まるから、他方の正負が得られ簡単に解けるのですが、(1)の場合はどうすれば良いのでしょうか。

というか、三角関数に関わる和の値の正負の当方の与え方に問題があるのかも知れません。
当方の考え方では、
-1≦sinx≦1、-1≦cosx≦1に則り、例えば(2)なら、左の因数について、cosxが1から-1の範囲でどの値をとってもcosx+2＞0 を根拠に積の因数の正負を与えているのですが、どうもここに問題があるのではと…

因みに(1)はある問題集からですが、その解説によれば

cosx＜-(1/2) 1＜cos のようです。こうなる訳がいまいち解りません。お助け下さい

回答No.1

dreamfighter · ベストアンサー

＞＞cosx＜-(1/2) 1＜cos のようです

？？？？打ち込みミスがありよく分かりません。訂正してください。

(2cosx+1)(cosx-1)＞0 …(1)は
(1)2cosx+1>0,cosx-1>0
(2)2cosx+1<0,cosx-1<0

ですよね？これと-1≦cosx≦1を合わせればいいのでは？

(1)をとくとcosx-1>0は明らかにおかしいので(1)は存在しない。(2)と-1≦cosx≦1より-1≦cosx＜-1/2と決まるでしょう。

お礼

打ち込みミスありました。

誤記 1＜cos は正しくは1＜cosx です。すいません。

解説よく解りました。助かりました

補足

改めて、基本問題 類題 少々の発展問題解いたら合ってました！
大分スッキリしました。ありがとうございました