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三角不等式
以前質問したのですが、回答がこないのでお願いします sin x ＋√3 cos x >1の問題で ただし、0≦x<360 解くと 2(sinx・cos60＋cosx・sin60)>1 sin(x＋60)>1/2 0≦x<360より xがx＋60なので60を足して 60≦x＋60<420 60≦x＋60 から360を足して 390<x＋60<420になったのは分かったのですが なぜ≦から＜になったのがよくわかりません。 390≦x＋60<420 は駄目なのですか？ そして 390<x＋60<420を変換すると 390＝30なら 420=６０ とはならないのですか？ お願いします
- boku115
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一周して３９０が３０になってぇ～・・・・ を考えるのをちょっと中断して、ひとまず解を出しませんか？ z=x+60とおくと sin(z)>1/2 60≦z＜420 ←これはひとまず忘れて下さい 単位円を書いて考えると、 ｚの範囲は 30～150 ここまでは分かりますか？ 等号とか範囲とか無視してますけど。元々これを考える問題なので、ここが分からないと論外ですよ。 ではこれから３６０の足しひきを考えます。 さっきの解にもう一周（つまり+360）しても同じく解がありますよね。つまり30+360～150+360 さらに、一周（つまり合計+720)してもまたまた解がありますよね。30+360*2～150+360*2 さらにさらに・・・面倒なのでもう書きません。 でもあえて無理して書きますが、逆方向に一周しても解がありますよね。つまり30-360～150-360 さらに逆方向にもう一周しても・・・ホントにやめます。 このように解は無限にありますが、この中から60≦z＜420を満たすものを選べばいいのです。 上記の内容を式で書くと -330<z<-210 30<z<150 390<z<510 等号は入りませんよ。理由が分からなかったら言って下さい。 この中から60≦z＜420に入るものをよ～く選んで考えると・・・ 60≦z<150、390<z<420 z=x+60に戻して考えると答えになります。
- kalgebra
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あなたの質問の前のとこまでに、あなたが辿り着いたことは sin(x＋60)>1/2 （ただし60≦x＋60<420）ですね。 sinが1/2より大きくなるのは30＋360n～150+360nです。（ただしnは整数） だから、60≦x＋60<420の範囲では、 60≦x＋60<150，390<x+60<420 よって、答えは 0≦x<90，330<x<360 です。
- shkwta
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途中が抜けているようです。 ＞sin(x＋60)>1/2 ここでやっておくことがあります。xy座標で、原点を中心として半径1の円を描いてください。そして、y=1/2で、x軸に平行な直線Lを引きます。Lよりyの大きい範囲が、(x+60)の範囲です。 そうすると、sin(x+60)>1/2 が成立する範囲は、 30 < x+60 < 150 [ア] であることがわかるでしょう。もちろん、360を何回か引くか、足すかして作った式 -330 < x+60 < -210 [イ] 390 < x+60 < 510 [ウ] 750 < x+60 < 870 [エ] などの式も成り立ちます。 ＞0≦x<360より ＞xがx＋60なので60を足して ＞60≦x＋60<420 [オ] この条件があるので、[ア]～[エ]などの中で[オ]と矛盾しないものだけ使えます。 [イ]や、そこからさらに360を引いた式は、[オ]と範囲が重ならないので使えません。 [エ]や、そこからさらに360を足した式は、[オ]と範囲が重ならないので使えません。 残るのは、[ア][ウ]だけです。 まず、[ア]と[オ]が重なっている範囲を考えます。 [ア]では、x+60は30より大きく、150より小さい。[オ]ではx+60は60以上で、420より小さい。この２つの範囲が重なるのは、x+60が60以上で150より小さい範囲です。つまり、 60≦x+60<150 [カ] つぎに、[ウ]と[オ]が重なっている範囲を考えます。これは、 390<x+60<420 [キ] [カ][キ]の各辺から60を引いたものが答です。 0≦x<90 または 330<x<360 ---------------------------- ＞60≦x＋60 ＞から360を足して ＞390<x＋60<420になったのは分かったのですが これはまちがいです。[ウ]と[オ]の重なった部分が[キ]です。≦が＜に変わった理由は、[オ]の「60以上」と[ウ]の「390より大きい」とを合わせると「390より大きい」が残るからです。 ＞390≦x＋60<420 ＞は駄目なのですか？ 390<x+60は、[ウ]から来ているので、390≦x+60には、なりません。 ＞390<x＋60<420を変換すると ＞390＝30なら ＞420=６０ ＞とはならないのですか？ x＋60<420は、問題の条件であるx<360から作った式です。したがって、x+60<60 には、なりません。
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