三角関数の加法定理・和積公式の拡張って？

質問

三角関数の加法定理
cos(α+β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)
を３変数に拡張すると、
cos(α+β+γ) = cos(α)cos(β)cos(γ) - sin(α)sin(β)cos(γ) - sin(α)cos(β)sin(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ)
となりました。

三角関数の和積公式
sin(α) + sin(β) = 2sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}
三角関数の積和公式
sin(α)cos(β) = (1/2){sin(α+β)+sin(α-β)}
も拡張して、
sin(α) + sin(β) + sin(γ) =（積の形）
sin(α)sin(β)sin(γ) = (和の形)
にできますでしょうか？

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＃２です。
　お礼をありがとうございます。

＞n変数の公式は、すごく複雑ですね。どう応用があるのかわからない。

　まさに、その通りです。
　いつか必要になるかもしれないと思い求めておきましたが、いまだかつて役に立ったことがありません。＾＾；

＞３変数のとき、
＞sin(A)+sin(B)+sin(C)－sin(A+B+C) = 4sin((C+A)/2)sin((A+B)/2)sin((B+C)/2)
＞において、A,B,Cの角度は三角形の角度、つまり、A+B+C=πとすると、少しは役立ちそうです。

　三角法の公式ですね。
　A+B+C=π　とすると多くの公式が導かれます。また球面三角法にも発展するので測量などでよく使われていると聞いたことがあります。

　平面三角法で個人的に好きなのは、
　　sinA+sinB+sinC＝4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
　　tanA+tanB+tanC＝tanA*tanB*tanC
といったところです。和と積がきれいに分かれているところに惹かれます。

お礼

ありがとうございます。

（ｎ項の加法定理）
　　sin(ΣXk)＝ΣSk*sin(kπ/2)＝S1-S3+S5-S7+・・・
　　cos(ΣXk)＝ΣSk*cos(kπ/2)＝S0-S2+S4-S6+・・・

ですが、包除原理
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%85%E9%99%A4%E5%8E%9F%E7%90%86
と似ていないでしょうか?

また、詳しくはしらないのですが、メビウスの反転公式は、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E9%96%A2%E6%95%B0
関数 f(n), g(n) について、略して書くと、
g(n)=Σf(n)⇔f(n)=Σ±g(n)
となりますが、これは加法定理と積和公式の関係ににてなくないでしょうか？
つまり、sin(ΣXk)やcos(ΣXk)はΠsin(Xk)Πcos(Yk)という形の和で書ける。
⇔Πsin(Xk)Πcos(Yk)はsin(ΣXk)やcos(ΣXk)という形の和で書ける。

もっと統一的に解釈できるとうれしいのですが。

回答No.4

Tacosan

えっと....
「n項の加法定理」って, 実は Euler の公式
cos θ + j sin θ = exp (jθ) (j: 虚数単位)
から導くことができるんじゃないだろうか?
つまり,
cos [Σ θi] + j sin [Σ θi] = exp (j Σ θi)
= Π exp (j θi)
= Π (cos θi + j sin θi)
となって, この右辺を展開すれば出ますよねぇ.

お礼

ありがとうございます。
そうです。
Π[i=1,n](cos θ[i] + j sin θ[i])
を展開すればよいのですが、次のような感じはいかがでしょうか？

Π[i=1,n](cos θ[i] + j sin θ[i])
=Π[i=1,n]cos θ[i](1 + j tan θ[i])
=Π[i=1,n]cos θ[i] Π[i=1,n](1 + j tan θ[i])☆

ここで別途、多項式の因数分解のちょっと変形したものを考える。
(X+x[1])(X+x[2])…(X+x[n])=X^n+s[1]X^(n-1)+s[2]x^(n-2)+…+s(n)
ただし、s[1]=Σ[i=1,n]x[i],s[2]=Σ[1≦i<k≦n]x[i]x[k]などといった基本対称式。
ここで、X=1 , x[i]=j tan θ[i]とすると、

☆
=Π[i=1,n]cos θ[i] {1+s[1]+s[2]+…+s[n]}
ただし、s[1]=Σ[i=1,n]j tan θ[i] , s[2]=Σ[1≦i<k≦n]-tan θ[i] tan θ[k] など。

=Π[i=1,n]cos θ[i] {1+s[2]+s[4]+…+s[1]+s[3]+…}
ここで、s[1],s[3],…は純虚数である。

つまり、「n項の加法定理」は、

cos [Σ θi]
={1+s[2]+s[4]+…}Π[i=1,n]cos θ[i]

j sin [Σ θi]
={s[1]+s[3]+…}Π[i=1,n]cos θ[i]

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　お礼をありがとうございます。

＞ちょっと不完全ですが、これが積和公式といえないでしょうか？

　余分が項がありますが、それで和積公式といっていただけるのなら、それで良いと思います。（一般に通用する名前かどうかは知りませんが。）

＞＃積和の公式と加法定理をｎ変数まで拡張した公式は、なんとなく形は想像できますが、それを（たとえば２項展開・多項展開と同じく）記述できるのでしょうか?

　一般化すると、かなり複雑な式になります。

（ｎ項の加法定理）
　　sin(ΣXk)＝ΣSk*sin(kπ/2)＝S1-S3+S5-S7+・・・
　　cos(ΣXk)＝ΣSk*cos(kπ/2)＝S0-S2+S4-S6+・・・

　ただし、Sk は、ｎ個のXjからk個の正弦sinと、(n-k)個の余弦cosと掛け合わせたものをすべて足し合わせたもの。

（ｎ項の積和公式)
　　Πsin(Xk)＝(-1/4)^(n-1) [k=0→(n-1)/2]Σ(-1)^k*S'(n-k)　　（n:odd)
　　　　　　＝(-1/4)^(n-1)　[ S'(n)-S'(n-1)+S'(n-2)-・・・+(-1)^{(n-1)/2}*S{(n+1)/2} ]

　　Πsin(Xk)＝(-1/4)^(n/2) { 2*[k=0→n/2-1]Σ(-1)^k*C'(n-k) + (-1)^(n/2)*C'(n/2) }　　（n:even)
　　　　　　＝(-1/4)^(n/2) [ 2*{C'(n)-C'(n-1)+C'(n-2)-・・・+(-1)^(n/2+1)*C'(n/2+1)} + (-1)^(n/2)*C'(n/2) ]

　　Πcos(Xk)＝2^(1-n) [k=0→(n-1)/2]ΣC'(n-k)　　（n:odd)
　　　　　　＝2^(1-n) [ C'(n)+C'(n-1)+C'(n-2)+・・・+C'{(n+1)/2} ]

　　Πcos(Xk)＝2^(-n) { 2*[k=0→n/2-1]ΣC'(n-k) + C'(n/2) }　　（n:even)
　　　　　　＝2^(-n) [ 2*{C'(n)+C'(n-1)+C'(n-2)+・・・+C(n/2-1)} + C'(n/2) ]

　ただし、S'(k)はｎ個のXjからｋ個に＋符号で、残りの(ｎ－ｋ)個に－符号をつけて足し合わせたものの正弦sinを、すべての組み合わせについて足し合わせたもの。
　また、C'(k)はｎ個のXjからｋ個に＋符号で、残りの(ｎ－ｋ)個に－符号とつけて足し合わせたものの余弦cosを、すべての組み合わせについて足し合わせたもの。

　Sk、S'(k)、C'(k)の定義がとても厄介なものになっていますが、ｎ＝３のときの式と見比べていただいて、言わんとするところを汲み取っていただければ幸いです。（式で表現しようとすると、もっと複雑になるか冗長なものになって今います。）

　（一通りチェックしましたが、もし書き間違いがありましたら、ごめんなさい。とても神経を使いますね。）

お礼

ありがとうございます。
n変数の公式は、すごく複雑ですね。どう応用があるのかわからない。

３変数のとき、
sin(A)+sin(B)+sin(C)－sin(A+B+C) = 4sin((C+A)/2)sin((A+B)/2)sin((B+C)/2)
において、A,B,Cの角度は三角形の角度、つまり、A+B+C=πとすると、少しは役立ちそうです。

補足

ありがとうございます。
No4さんの投稿をもとに、次のように考えました。

cos [Σ[i=1,n]θi] + j sin [Σ[i=1,n]θi]
= exp (j Σ[i=1,n] θi)
= Π[i=1,n] exp (j θi)
=Π[i=1,n](cos θ[i] + j sin θ[i])
=Π[i=1,n]cos θ[i](1 + j tan θ[i])
=Π[i=1,n]cos θ[i] Π[i=1,n](1 + j tan θ[i])☆

ここで別途、多項式の因数分解のちょっと変形したものを考える。
(X+x[1])(X+x[2])…(X+x[n])=X^n+s[1]X^(n-1)+s[2]x^(n-2)+…+s(n)
ただし、s[1]=Σ[i=1,n]x[i],s[2]=Σ[1≦i<k≦n]x[i]x[k]などといった基本対称式。
ここで、X=1 , x[i]=j tan θ[i]とすると、

☆
=Π[i=1,n]cos θ[i] {1+s[1]+s[2]+…+s[n]}
ただし、s[1]=Σ[i=1,n]j tan θ[i] , s[2]=Σ[1≦i<k≦n]-tan θ[i] tan θ[k] など。

=Π[i=1,n]cos θ[i] {1+s[2]+s[4]+…+s[1]+s[3]+…}
ここで、s[1],s[3],…は純虚数である。

つまり、「n項の加法定理」は、

cos [Σ θi]
={1+s[2]+s[4]+…}Π[i=1,n]cos θ[i]

j sin [Σ θi]
={s[1]+s[3]+…}Π[i=1,n]cos θ[i]

回答No.1

Mr_Holland

＞sin(α) + sin(β) + sin(γ) =（積の形）
＞sin(α)sin(β)sin(γ) = (和の形)
＞にできますでしょうか？

　和を積に変える式は知りませんが、積を和に変える式なら次の公式があります。

　　sin(α)sin(β)sin(γ) ＝(1/4){ sin(α+β-γ)+sin(-α+β+γ)+sin(α-β+γ)－sin(α+β+γ) }
　　sin(α)sin(β)cos(γ) ＝(1/4){ －cos(α+β-γ)+cos(-α+β+γ)+cos(α-β+γ)－cos(α+β+γ) }
　　sin(α)cos(β)cos(γ) ＝(1/4){ sin(α+β-γ)－sin(-α+β+γ)+sin(α-β+γ)＋sin(α+β+γ) }
　　cos(α)cos(β)cos(γ) ＝(1/4){ cos(α+β-γ)＋cos(-α+β+γ)+cos(α-β+γ)＋cos(α+β+γ) }

　（大切な式なので何度も確認しましたが、もし打ち間違えていたらごめんなさい。）

　ちなみに、この積和の公式と元々の加法定理ですが、ｎ変数まで拡張した公式があります（積和はcosとsinが混ざったものはありませんが）。必要でしたら、その旨おっしゃってください。（多少複雑な式になります。）

お礼

すばらしいご返答に感謝いたします。
貴殿の公式で、
α+β-γ=A,-α+β+γ=B,α-β+γ=Cとすると、
α+β+γ=A+B+C、α=(C+A)/2,β=(A+B)/2,γ=(B+C)/2なので、
sin((C+A)/2)sin((A+B)/2)sin((B+C)/2) ＝(1/4){ sin(A)+sin(B)+sin(C)－sin(A+B+C) }
つまり、
sin(A)+sin(B)+sin(C)－sin(A+B+C) = 4sin((C+A)/2)sin((A+B)/2)sin((B+C)/2)
同じことですが、
sin(A)+sin(B)+sin(C) = 4sin((C+A)/2)sin((A+B)/2)sin((B+C)/2) + sin(A+B+C)

ちょっと不完全ですが、これが積和公式といえないでしょうか？

＃積和の公式と加法定理をｎ変数まで拡張した公式は、なんとなく形は想像できますが、それを（たとえば２項展開・多項展開と同じく）記述できるのでしょうか?
できれば、ご面倒でなければ、記述をお願いしたく思います。