• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

dy/dxについて

dy/dxはなぜ置換積分をする時(1)のように分数の計算みたいに計算できるんですか?高校の時も先生はそのことについてこれはこうなるという風にしか説明しませんでした。他の専門書とかにもとりあえずこうなるみたいな書き方をしてありました。そんなに難しい理論なんですか (1)t=2x^2とすると dt/dx=4x⇒dt=4xdx

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数12
  • 閲覧数1475
  • ありがとう数6

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.6

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=236331 でほぼ同様な疑問に対してかなり突っ込んだ回答がなされています.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • dxやdyの本当の意味は?

    宜しくお願いします。 昔、高校で dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。 が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。 「両辺をdy倍して…」等々、、、 また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。 結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか? (何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました) 一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい のにとも思ったりします。 実際の所、 dxの定義は何なんですか? dyの定義は何なのですか? 本当はdxとdyはばらばらにできるのですか? どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

  • dy/dx・dxは置換積分を使ってdy?

    次の微分方程式を解け 2yy'=1 とありました。解答は -------------------------------- 2y・dy/dx=1の両辺をxで微分して ∫2y (dy/dx) dx=∫dx 置換積分法により ∫2y dy=∫dx ゆえに y^2=x+C (Cは任意定数) -------------------------------- となっています。ここで疑問に思ったのが ”置換積分法により”という箇所です。 これはdy/dx・dxを”約分して”dyにしてはならず、 ”置換積分法により”dyにしなくてはならない、 ということが言いたいのだと解釈しました。 疑問1. そこで、ここにおける”置換積分”とは具体的には どのような作業を指すのでしょうか? 疑問2. 以下は全て同じことを表現したいと意図している のですが、誤解を招くことはないでしょうか? 2y・dy/dx・dx    2y (dy/dx)・dx   2y dy/dx dx 2ydy/dx dx 2y*dy/dx*dx 2yとdyの間に半角スペースを入れた方がよいか ・と*と半角スペースどれが妥当か dy/dxは()でくくるべきか などなどです。

  • dy=dx

    こんにちは さっそく質問なのですが、 例えば、微分方程式や置換積分でdy/dx=1⇒dy=dxのような式変形を使いますよね。 が、このような変形をしていいのはなぜですか?

その他の回答 (11)

  • 回答No.12

詳しい事は、他の方が(特に#2さん)答えれてますので。 以下のように、視点を変えてみては、どうですか。 (1)分数(dt/dx)ではなくて、比(dt:dx)と考えて下さい。 (2)書物にする時、字数やスペースの関係(安く刷る為)で、dt/dx⇒dt=dx と表記するのです。 いかがですか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答してくださった皆さんありがとうございます。ゆっくり考えてみたいと思います。

  • 回答No.11

#10の者です. >今はきちんとした話は無理なので, >当面は(大学に入るまでは)良いと思います. 誤解して答えていたらお詫びいたします. 高校数学の学習者を想定した回答になってしまいました. (質問者さんが仮に大学生以上の方だとしても,)理工系の専門(特に数学・物理・情報系等)の勉強を本格的にしているのでなければ基本的にはほぼ当てはまると思いますが, 他意はありませんので, 誤解がありましたらご容赦ください.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.10

>そんなに難しい理論なんですか 大学レベルで「微分形式」の話を勉強されたりすると,もっと見通しが良くなると思いますが,今はきちんとした話は無理なので,本や先生も曖昧な扱いをせざるを得ないのです.ただ,偶然ではなく,きちんとした背景があることだけは知っていて良いと思います. 今の段階では,無限小の量とでもいうべき"微小量"dx,dtに関係があって, (dx,dtは普通の数ではなく,大学レベルでいう"微分"と呼ばれる量ですが,)置換積分のときは,形式的に dt=4xdx とやってよいという程度の理解で当面は(大学に入るまでは)良いと思います.あとは#2さんなどが挙げてらっしゃるように,合成関数の微分法の話などですね. いずれにしても,濫用すると危ないです.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.9

dy/dx×dy/dx=dy^2/dx^2 の様に分数計算ができる。ということになっています。これは単なる記号として考案されたものであるから、謎めいたものではありません。これは、ニュートン、ライプニッツによって、物体の運動や地球の重力を理解するための数学的手段として用いるようにしたのであって、何故この形を用いたのかは本人でないと判りません。ちなみに我々回答する人間は誰かの兵ではありません。間違いのなきよう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.8

【質問】 皆さん、ご回答ありがとうございます。結論としては、解明されていない、こうすると上手くいく、ということですね? 【回答】 ただ、そうなっている、というだけのことだと思います。何か解明されるべきことがある、というわけではないでしょう。特に、それ以上の意味はないでしょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.7

>結論としては解明されていないこうすると上手くいくということですね? dy/dx=dy÷dx と叫んでいる人はたまに見かけますよ。私は左辺と右辺は一応別物だと叫びますが。証明もされているから使ってよいと言っている人もいる。googleでいろいろキーワード検索してみたら? おすすめキーワードは、「微分」「局所座標系」「dy=f'(x)dx」「全微分」…etc

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.5

実際にのところ、この疑問に対しては、「そうなっているから」という回答もあり得ます。つまり、置換積分の公式と微分の表現と割り算の形式が、上手い具合に調和しているのです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

皆さんご回答ありがとうございます。結論としては解明されていないこうすると上手くいくということですね?

  • 回答No.4

数学板の兵達が回答をためらっているようなので非才の身ながらがんばらせて頂く。 学校の教科書だと、微分係数の定義式から導関数の定義式をやり、これを「記号」として、 dy/dx=f´(x)=lim(以下略)とある。つまり、dyやdxが一つの量であるとは書かれていない。 だからわからなくて当たり前じゃ。 以上!あとは兵達にまかせる。お腹がすいたでの。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.3
  • hinebot
  • ベストアンサー率37% (1123/2963)

2回目です。 念の為ですが、私の回答の主旨は、#2の方の回答にある >dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)も分数の計算のようになっています。 も含めての話です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • tak2006
  • ベストアンサー率23% (17/71)

dy/dx=f(x)とおきます。これを積分の形で表すと、   y=∫{f(x)}dx       -(a) 次に、f(x)=g(t)となる変数tを定義する。 dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)となるので、   dy/dt=f(x)(dx/dt)=g(t)(dx/dt) -(b) これを積分の形で表すと、   y=∫{f(x)(dx/dt)}dt       -(c) (a)=(b)となるので、   ∫{f(x)}dx=∫{g(t)(dx/dt)}dt -(d) (d)式はxをtの関数で表現してdx/dtを計算し、積分の最後につけるdxをdtに置換した形となっています。理論で説明すると以上となります。 概念で説明すると、f(x)の積分はf(x)にxの微小変化分dxを掛けたものを足していくわけですが、これを微小変化分dtで行うには、お互い微小なdx、dtにも大小関係があって、それを比(つまりdx/dt)で表すことによりdxはdtの何倍なのかを知る必要があるというわけです。 ちなみに、dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)も分数の計算のようになっています。何故こうなるかは、参考書に載っていると思いますので見てみて下さい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • dy/dx (y+1)を積分して(y+1)^2?

    次の微分方程式の一般解を求めよ。 (1+y) (d^2y)/(dx^2) + (dy/dx)^2 = 0 dy/dx = p とおくと、      (1+y)p (dp)/(dy) + p^2 = 0 となり、      (i) (1+y) (dp)/(dy) + p = 0      (ii) p = 0 の2通りが考えられる。 (i)の場合      1/p (dp)/(dy) + 1/(1+y) = 0 の両辺をyで積分して      log |p(y+1)| = C_1 つまり、      dy/dx (y+1) = C_1 両辺をxで積分して、      (y+1)^2 = C_1x + C_2     ←? という解を得る。 ・・・と本に書いてあります。しかし、 「両辺をxで積分して」の計算は間違ってないですか? 自分が計算すると、      dy/dx (y+1) = C_1      ∫ (y+1) dy/dx dx = C_1∫dx      ∫ (y+1) dy = C_1∫dx      ∫y dy + ∫1 dy = C_1∫dx      y^2/2 + y = C_1x + C_2 になります。 積分して(y+1)^2になるなら、元々は2(y+1)じゃないといけないですよね、きっと。 ということで、どなたか検算をお願いします。

  • 微分記号(dy/dx)について質問です。

    微分記号(dy/dx)について質問です。 例えば、 dy/dx=x という微分方程式を考えます。 両辺をxで積分すると、 ∫(dy/dx)dx = ∫x dx ・・・(1) となって ∫dy=∫x dx ・・・(2) ⇔ y = (1/2)x^2 + C (Cは積分定数)となります。 ここで質問です。(1)から(2)へ変形するときどうして、(dy/dx)dx = dx 、とできるのでしょうか? dy/dx は、分数じゃなくて記号だと習ったのに、あたかも普通の数字や文字であるかのように計算(約分)できるのはどうしてですか?形式的にしか理解していないのでその計算の意味を教えてください。 よろしくお願いします。

  • 導関数の記号 dy/dx の意味は?

    高校の先生から、微分(導関数)の記号:dy/dx は、1つの記号であって、 分数のように分母・分子に切り離してはいけないと教わりました。 しかし、逆関数での微分では、dy/dx を 1/(dx/dy)にしたり、積分するとき の記号では、最後に dx をつけ、あたかも分母だけをつけた形にしています。 初めの dy/dx は、「dy は分子、dx は分母」と素直に考えたほうが いいのではないでしょうか?

  • 微分について

    yをxで微分するとき、dy/dxと書きますよね。そして「ディーワイ、ディーエックス」と発音します。 これは「ディーエックスのディーワイ」と分数のように発音してはいけないのでしょうか。 分数のように発音しないなら、厳密に言ってdy/dxは分数ではないということなのでしょうか? また積分のとき置換積分などで t=(x+1)^2 とおいて dt/dx=2(x+1)   --(1) となり、 dt=2(x+1)dx というような変形をします。その際(1)式にdxをかけたという認識で厳密によろしいのでしょうか? となるとdt/dxは分数ということになり、なぜ、わざわざ呼びなれた「ディーエックス分のディーティ」と 分数のように呼ばず、「ディーティ、ディーエックス」と呼ぶのでしょうか? 一般論としてではなく、厳密な数学的な意味を教えてくださればうれしいです。 ちなみに高校時代の先生は分数のように発音していました。

  • dy/dxの計算問題

    ある問題の途中で最後の計算のところがわからないので教えてください。 dy/dx=sint/1-costという結果を媒介変数から求めました。ここで、 d^2y/dx^2=d/dx*(dy/dx)=d/dt*(sint/1-cost)*dt/dx と表されていますが、最後の*dt/dx がどういう意味かわかりません。 合成関数の微分の考えを用いているのは「なんとなく」わかるのですが、なぜtをxで微分したものなのでしょうか。言われてみれば納得できないこともないですが、明確にはわかりません。まして、自力でこの手の問題を解くときにはわからないと思います。 どなたか教えてください。

  • 導関数の記号をdy/dxで表す理由

    導関数は分数みたいにdy/dxと表しますが、何故このような表し方をするのでしょうか? 分数みたいに計算出来て便利なのですが、分数と混同してしまいそうです。 それならdy//dxのように分数の横線を二重にして、分数ではないことが視覚的に分かる様にしてほしいのですが、何故そうしないのでしょうか?

  • 高校物理におけるdy/dxの扱い

    高校物理におけるdy/dxの扱い 親戚の子の高校物理の問題(高難易度)の解説を見ていて気になることがありました。 途中で微分の式が出てくるのですが、   (ナントカ)・dy/dx=(カントカ) のような式が出てきたのですが、その直後に  両辺にdxをかけて   (ナントカ)・dy=(カントカ)・dx というような変形をして解説が続いていました。 自分は高校生の時に、数学で「dy/dxは分数ではなく微分の記号。ただし合成関数などの微分では分数のように扱える」とかのように習った記憶があります。しかしこの解説では、dy/dxをもはや分数と同様に扱っているように見えました。 物理の世界ではこういった式変形はよくあるのでしょうか? また高校物理でこういった表現をすることに支障は無いのでしょうか? ちなみに自分は数学は大学受験レベルまで、物理は高校の授業レベルの知識ですので、それを考慮して答えていただければ幸いです。

  • dx を変数として扱える理由

    高校の数学では、微分を次のように習いました。 y=f(x) ...f(x)はxの関数 yをxで微分することを次のように書く。 dy/dx=df(x)/dx 例えば y=f(x)=x^2+3x+4 なら dy/dx=2x+3 高校の授業で数学の先生の漏らした言葉に、 dx は、ひとつの変数と扱って計算してよい。 とすると dy=(2x+3)dx と書ける。 ここで積分の魔法をかけると ∫dy=∫(2x+3)dx y+A=x^2+3x+B (A,Bは定数) なんと、これはA,Bを B-A=4とすれば 最初のf(x)と一致してます。 このようなめちゃくちゃな話をそのまま信じるのも あれなので、こんな計算が許される理由を教えてください。

  • 置換積分における置換演算について

    f(x)に対する積分式について、計算のため、 t^2 = x-5 とおく変数の置換式を立てました。 この時、両辺をtで微分すると、 2t = dx / dt → 2t・dt = dx という変換式ができます。 一方、両辺をxで微分すると、 dt^2 / dx = 1 → dt^2 = dx という変換式ができます。 ここで、dt^2 = t・dtとみなして t・dt = dx という変換式として使っては「いけない」明確な説明は、どのようなものになるでしょうか? (t^2という文字を更に別の文字に置換する必要がありますが、高校の数学教科書ではこのあたりが明確に示されていないようです。) (置換積分の変換式の説明の際、「dx→dt」の置換方法は、合成微分の絡みから、「あたかも分数の掛け算をするように」求められると解説されることがあるようですが、その説明ではこの部分の説明がうまくできません。) よろしくおねがいいたします。

  • 「高校数学」置換積分法の公式について

    x=g(t)のときの置換積分法の公式∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt についてなんですが、 dx/dt=g'(t)だから dx=g'(t)dtよりこれを左辺のdxに代入して 機械的に右辺の式になると考えるのは間違いでしょうか? 教科書では y=(左辺)として dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)=f(g(t))g'(t)だから両辺tで積分して 右辺を作ってましたが・・・