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e^xの置換積分
√e^x+1=t とおくと、e^x+1=t^2であるから。 e^x=t^2-1, e^xdx=2tdt 上記の計算がわかりません。 左辺がxなら、dx/ｄｔ=2tとなることは、わかりますが、 dxの前にe^xがついているのはなぜでしょうか？ 両辺の自然対数をとって、x=log(t^2-1)としてもわかりません。 ご指導お願いします。
- situmonn9876
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y=e^x=t^2-1であれば dy/dx=e^xだからdy=e^x dx またdy/dt=2tだからdy=2tdt dy=e^x dx=2tdtになっているよね。
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- bran111
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置換積分は積分変数(この場合x)を１対１対応する他の変数(t)に置き換えて行うことができるというものです。つまり x=p(t)の関係がある時 ∫[x=x1,x2]f(x)dx=∫[t=t1,t2]{f(x(t))(dx/dt)}dt という変換を行います。積分範囲は t=p^(-1)(x) (pの逆関数) に、x1,x2を代入して求めます。 e^x=t^2-1 （1） のようにx,tが関数形をなしている場合は x=log(t^2-1)に変形してｄdx/dtを求めてもよいし (1)の両辺をtで微分して de^x/dt=e^xdx/dt=2t より dx/dt=2t/e^x=2t/(t^2-1) としてもよいということです。 x=log(t^2-1)に変形した場合はそのまま dx/dt=2t/(t^2-1) が得られます。 とにかくdx/dtを求める必要があり、正確ならばどのような変形をしても可能だということです。
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いろんな計算をありがとうございます。
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お礼
わかりやすい説明ありがとうございます。