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e^xの置換積分

  • 質問No.9142378
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お礼率 93% (503/536)

√e^x+1=t とおくと、e^x+1=t^2であるから。
e^x=t^2-1, e^xdx=2tdt
上記の計算がわかりません。
左辺がxなら、dx/dt=2tとなることは、わかりますが、
dxの前にe^xがついているのはなぜでしょうか?
両辺の自然対数をとって、x=log(t^2-1)としてもわかりません。
ご指導お願いします。

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  • 回答No.1
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ベストアンサー率 44% (4951/11038)

数学・算数 カテゴリマスター
y=e^x=t^2-1であれば
dy/dx=e^xだからdy=e^x dx
またdy/dt=2tだからdy=2tdt
dy=e^x dx=2tdtになっているよね。
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 93% (503/536)

わかりやすい説明ありがとうございます。
投稿日時:2017/01/14 18:17

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.2

ベストアンサー率 49% (510/1034)

置換積分は積分変数(この場合x)を1対1対応する他の変数(t)に置き換えて行うことができるというものです。つまり

x=p(t)の関係がある時

∫[x=x1,x2]f(x)dx=∫[t=t1,t2]{f(x(t))(dx/dt)}dt

という変換を行います。積分範囲は

t=p^(-1)(x) (pの逆関数) に、x1,x2を代入して求めます。

e^x=t^2-1        (1)

のようにx,tが関数形をなしている場合は

x=log(t^2-1)に変形してddx/dtを求めてもよいし

(1)の両辺をtで微分して

de^x/dt=e^xdx/dt=2t

より

dx/dt=2t/e^x=2t/(t^2-1)

としてもよいということです。

x=log(t^2-1)に変形した場合はそのまま

dx/dt=2t/(t^2-1)

が得られます。

とにかくdx/dtを求める必要があり、正確ならばどのような変形をしても可能だということです。
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 93% (503/536)

いろんな計算をありがとうございます。
投稿日時:2016/03/14 14:47
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