e^xの置換積分

質問

√e^x+1=t とおくと、e^x+1=t^2であるから。
e^x=t^2-1, e^xdx=2tdt
上記の計算がわかりません。
左辺がxなら、dx/ｄｔ=2tとなることは、わかりますが、
dxの前にe^xがついているのはなぜでしょうか？
両辺の自然対数をとって、x=log(t^2-1)としてもわかりません。
ご指導お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

y=e^x=t^2-1であれば
dy/dx=e^xだからdy=e^x dx
またdy/dt=2tだからdy=2tdt
dy=e^x dx=2tdtになっているよね。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございます。

回答No.2

bran111

置換積分は積分変数(この場合x)を１対１対応する他の変数(t)に置き換えて行うことができるというものです。つまり

x=p(t)の関係がある時

∫[x=x1,x2]f(x)dx=∫[t=t1,t2]{f(x(t))(dx/dt)}dt

という変換を行います。積分範囲は

t=p^(-1)(x) (pの逆関数) に、x1,x2を代入して求めます。

e^x=t^2-1　　　　　　　　（1）

のようにx,tが関数形をなしている場合は

x=log(t^2-1)に変形してｄdx/dtを求めてもよいし

(1)の両辺をtで微分して

de^x/dt=e^xdx/dt=2t

より

dx/dt=2t/e^x=2t/(t^2-1)

としてもよいということです。

x=log(t^2-1)に変形した場合はそのまま

dx/dt=2t/(t^2-1)

が得られます。

とにかくdx/dtを求める必要があり、正確ならばどのような変形をしても可能だということです。

お礼

いろんな計算をありがとうございます。