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置換積分?

(1)∫1/√(e^x+1)dx (2)∫1/x(3√x+1)dx ※3√はルート3乗根の意味です (1)はe^xをtとおいて計算してみたのですがうまく行かず さらに√(e^x+1)を丸ごとtとおいて計算したのですがどうしても 答えにたどり着けませんでした (2)は3√x+1とtとおいてみたのですが余計に複雑なってしまい そのほか多数試してのですがこちらもよくわかりませんでした それぞれ答えは (1)log(√(e^x+1)-1/√(e^x+1)+1) (2)3log(3√x/3√x+1) とのことですがよろしくお願いします また、積分計算の学習にわかりやすい本がありました 同時に教えていただけないでしょうか

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質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
  • mobu
  • ベストアンサー率30% (45/148)

(1)は√(e^x+1)をtとおくと、 e^x=t^2-1となり、これを微分すると e^xdx=2tdt  ∫1/√(e^x+1)dx =∫e^x/{e^x√(e^x+1)}dx =∫2t/t(t^2-1)dt =∫2/(t+1)(t-1)dt (2)は3√x+1をtとおくと x=(t-1)^3 dx=3(t-1)^2dt これより  ∫1/x(3√x+1)dx =∫3(t-1)^2/{t(t-1)^3}dt =∫3/{t(t-1)}dt (1)(2)ともこのあと解くと解答のようになりますよ。

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質問者からのお礼

詳細な回答ありがとうございます  ∫1/√(e^x+1)dx =∫e^x/{e^x√(e^x+1)}dx のように変形するとは思いもよりませんでした なかなか難しいものですね もっと練習を積みます ありがとうございました

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4

計算問題の答えは皆さんが解いてくれているのでいいと思います。参考書ですが、やはり王道で数研出版のチャートがいいと思います。けれど数3はとにかく解きまくるといいと聞きました。多分置換積分なら50題くらい解けば、何か雰囲気が読めてくると思います。数3は質より量なので、頑張ってください。(もちろん参考書を使ってもいいと思います。)

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質問者からのお礼

すいません 本屋で多数見てきました 最近の参考書はものすごい解説ですね 私は古い本しか見ていなかったので ちょっと最近の本を買ってみます アドバイスありがとうございました

質問者からの補足

参考書の件ありがとうございます 数研出版の赤チャートを持っています ただ完全に独学で予備校や学校にも通っていません また身近に質問できるような人もいないので (普通のサラリーマンですので) そうなると問題から直接答えしか書いていない本では 正直かなり効率が悪いので(数Iのときは1年かかりました) 解答の過程まで載っている問題集のような本があればと 思ったのですが・・・・・・・

  • 回答No.2
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

質問者の、その方法でよいと思います。正解まで、あと一息です。 (1)は、   e^x=tとおいて、計算した後、今度は、 √(t+1)=u とおけばよいと思います。そうする   と、分母が因数分解できる形になりますので、それ   を、部分分数に分解すればよいわけです。 (2)は、   3√x=tとおけば、分母が因数分解できる形になりますね。  がんばってください。

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質問者からのお礼

早速の回答ありがとうございます アドバイス頂いた方法で回答にたどり着けました ありがとうございました

  • 回答No.1

(1)はお察しのような方法でできます。 =∫2/(t^2-1)dt =∫{1/(t-1)-1/(t+1)}dt =log|t-1|-log|t+1|+C Cは積分定数 tは実際は1より大きいので絶対値は外れます。

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質問者からのお礼

早速の回答ありがとうございます 何とか回答にたどり着けました

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