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1/y・dy/dtを積分すると、どうしてlogey+C’’になるのでしょうか?

とある微分方程式の教科書で勉強していると、疑問に思った箇所がありまして(>_<) dy/dt = ry ・・・(1) を、積分するという話なのですが、これを積分した結果が、 logey = rt+C’ ・・・(2) になるそうなのです。 教科書の説明では、「未知関数yを微分したdy/dt(左辺)は、もとの未知関数yに定数を掛けたものになっている(右辺)」ので、「単に両辺を積分しても、右辺をどう積分していいのかわからない」そうなのです。 そこで、"変数分離法"なるものを利用して、左辺を未知関数yだけに、右辺を定数と変数tだけにするために、両辺をyで割り、その後に積分するという手法を採っていました。 そうすれば、左辺が、 ∫1/y・(dy/dt) dt = ∫dy/y = logey+C’’ ・・・(3) となり、右辺は、 ∫r dt = rt+C’’’  ・・・(4) となるので、両辺の積分定数をまとめてC’と置いて、結果として(2)になるそうなのです。 私がわからないのは、左辺の積分、(3)についてです。 分数の積分の公式に、 1/x →積分→ logex(=lnx) +C http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0 http://sqa.scienceportal.jp/qa4962140.html というものがあるそうなので、1/yを積分した「∫1/y dt」は、「logey+C’’(定数)」になるのだと思います。 でも、今回の積分は「∫1/y・(dy/dt) dt」であり、「∫1/y・dt」とは違うので、logey+C’’になるのはおかしいと思うのです。 教科書が間違っている可能性は低いと思います。 どうしても理解できませんので、皆様のアドバイスをいただければ幸いです。 よろしくお願いします<m(__)m>

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  • 回答No.2
noname#221368
noname#221368

 たぶん高校生の方かなぁ~?、と思って回答します。  微分方程式を上手く変形して、既知の微分式の形に持ち込み、形式解を作る事は、求積法と言われる事が多いです。教科書にも載っていると思いますが、  (1)変数分離形  (2)線形微分方程式  (3)クレーローの微分方程式   ・・・などなど 色々なパターンがありますが、基本的なのは(1)と(2)です。(3)以下は、変数変換などを行って、(1)か(2)(多くは(1))に帰着させる方法です。(1)と(2)が、既知の微分式の形の基本になります。ここで「既知の微分式」とは、四則演算に関する微分公式の事です。四則演算に関する微分公式は4つです。以下、微分演算として、d/dx(y(x))=dy/dxの形も併用します。 (a) 合成関数の微分公式  d/dx(F(y))=dF/dy・dy/dx (b) 積の微分公式  d/dx(f・g)=df/dx・g+f・dg/dx (c) 和の微分公式  d/dx(f+g)=df/dx+dg/dx (d) 商の微分公式  は、(b)に帰着できる。  というわけで、実質的には3つです。(a)合成関数の微分公式の両辺を積分する事により、次の関係が導けます。   F(y)=∫dF/dy・dyなので、   ∫dF/dy・dy=∫dF/dy・dy/dx・dx(積分定数は、∫の結果に含める).  このパターンが変数分離形です。dy/dt = ryで例示すれば、1/y・dy/dt=rと変形して、   dF/dy=1/y   dy/dx=dy/dt(x=t)   ∫1/y・dx=log|x|+C   ∫r・dx=rx(積分定数は、直上のCに押し付けた) を順番に、   ∫dF/dy・dy/dx・dx=∫r・dx へ代入して行ってるだけです。  このような事は、普通の教科書には余り書かれていませんが、結局、微分の仕方がわかってる式に関しては、逆も出来るよ!、というだけの話です。  ところで微分公式は、実質的に後2つありますが、(c)和の公式は、fを未知関数,gを既知関数とみなすと、最も単純な積分公式、   f(x)=∫df/dx・dx、 しか導かないので、微分方程式としては役立たずです。  一方、(b)積の微分公式は、fを未知関数,gを既知関数とみなすと、次のタイプの微分方程式の一般的な求積法を与えます。   df/dx+p(x)・f=q(x)  これが線形微分方程式です。このタイプの求積法を考えるのは、けっこう面白いですが、高校数学では、線形微分方程式の求積公式は、証明しない限り使えない事になっていると思います(つまり御法度)。さらに、変数分離形に帰着できる問題しか、受験にも出ないはずです。  これに関わると、貴重な受験勉強時間を無駄にする恐れもありますので、興味があれば、また質問して下さい。その時は、添付ファイル付きでお応えします。  

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質問者からのお礼

詳しく回答していただきありがとうございます(>_<) 私は通信制の大学に通う社会人です。高校の時に数学から逃げてしまったので、もう1度、数学と向き合おうと努力しているつもりなのですが・・・(^_^;) が、さっそく、ddtddtddtさんの「(a)合成関数の微分公式の両辺を積分する事により~」という箇所で躓き、思考が停止してしまいました(ToT) 両辺を積分すると、 ∫d/dx(F(y))dx = ∫dF/dy・dy/dx・dx という、得体のしれない数式が出てきてしまったからです。 ただ別の参考書に、 ◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆ 関数f(x)=2x^3-3x-1について、 (1)d/dx∫f(x)dx (2)∫{d/dx f(x)}dx を計算せよ。 ↓ (1) d/dx∫f(x)dx = d/dx∫(2x^2-3x-1)dx =d/dx(2x^3/3-3x^2/2-x+C) =2x^2-3x-1 (2) ∫{d/dx f(x)}dx =∫{d/dx (2x^2-3x-1)}dx =∫(4x-3)dx =2x^2-3x+C ◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆ という、似たような微積分の問題がありましたので、ここはなんとか・・・積分して、また微分するからでしょうか、「∫d/dx(F(y))dx」が「F(y)」になるのは理解できました。 右辺の「∫dF/dy・dy/dx・dx」がどうなるかはまだ理解できていないのですが、dy/dt = ryで例示していただいので、そちらの方に集中してじっくり読み進めていると・・・また躓いてしまいまして(>_<) ddtddtddtさんの、 ・・・ 1/y・dy/dt=rと変形して、   dF/dy=1/y   dy/dx=dy/dt(x=t)   ∫1/y・dx=log|x|+C   ∫r・dx=rx(積分定数は、直上のCに押し付けた) ・・・ という例示が、理解できないのです。 「1/y・dy/dt=r」→「dF/dy=1/y」になったのは、積分か何かしたのでしょうか? rが消えています! と思いきや、 「∫1/y・dx=log|x|+C」→「∫r・dx=rx」と、rが元に戻っています。どうしてなのでしょうか? log|x|がrか何かになるのでしょうか? すいません、差し支えなければ、お暇な時に、この箇所について再度回答いただけないでしょうか? よろしくお願いします<m(__)m>

その他の回答 (4)

  • 回答No.5
noname#221368
noname#221368

 #4です。#5は見えてないと思います。  見えるようになったらわかりますが、ある理由から無茶をして、表示禁止になりました。  速効性のある手は、これしか思いつきません。参考URLを揚げます。

参考URL:
http://www.sipnet.co.jp/contactus.htm

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  • 回答No.4
noname#221368
noname#221368

 #3です。Word 2003のファイルを添付します。  中で、Microsoft 数式エディター3.0 を使用していますが、これは標準で付いていると思います(数式を表示できると思います)。  自分も昔は通信制を受けた事がありますが、やっぱり帰宅後に一人数学をやるのは辛くて、あんまり両立しませんでした。やはり、誰かに講義してもらう方が楽です。質問も直接できますし。通信制だと、独学とあんまり変わらないですよね?。  そこで調べてみると、「科目等履修制度」というのがありました。  これは半期契約で、講義を一コマいくらで買える制度です。いちおう、入学検定料(約1万円)を半年ごとに払います。学部や学科によっては、検定が実質的に面接で済む場合もあり得ます。国立大学なら、必ずこの制度があり、あなたが東京在住なら、東大の赤門をくぐれる可能性もあるわけです。  欠点は、夜間などではなく、会社が許してくれなければ無理な事。新入生といっしょに首を並べるので、やたらと「浮きまくる事」です。自分の場合は、転職がきっかけになりました。

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  • 回答No.3
noname#221368
noname#221368

 じつは自分も社会人で学生です(通信制ではないですが)。 >よくわからない。  応え方が悪かったと思います。  現在勤務時間中なのでえ、少々お待ち下さい。  今度は、添付ファイルにします(Word 2003)。

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質問者からのお礼

そうなんですか~! 私は1問理解するのもいっぱいいっぱいなので、全然仕事と両立できてない感じです・・・( ̄Д ̄;; 仕事中にすいません(>_<)

  • 回答No.1
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

> 分数の積分の公式に、 > > 1/x →積分→ logex(=lnx) +C ​> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E...​ ​> http://sqa.scienceportal.jp/qa4962140.html​ > > というものがあるそうなので、1/yを積分した「∫1/y dt」は、「logey+C’’(定数)」になるのだと思います。 「1/xを積分するとlogex + Cとなる」というのは誤りです。 ∫(1/x)dt = logex + Cとはなりませんし(1/xをtで積分した)、 ∫(1/x)ds = logex + Cとはなりません(1/xをsで積分した)。 正しくは「1/xをxで積分するとlogex + Cとなる」です。 つまり∫(1/x)dx = logex + Cです。 大事なのは、(1/x)とdxが両方同じ文字を使っているという点です。 文字さえそろっていれば、他の文字でもOKです。 ∫(1/t)dt = loget + Cも成り立ちますし、 ∫(1/s)ds = loges + Cも成り立ちます。 同様に∫(1/y)dy = logey + Cが成り立ちます。 > でも、今回の積分は「∫1/y・(dy/dt) dt」であり、「∫1/y・dt」とは違うので、logey+C’’になるのはおかしいと思うのです。 ∫(1/y)・(dy/dt) dt = ∫(1/y)dy = logey + C'' となります。「(dy/dt) dt = dy」のような変形は 置換積分で良く見られますよね。

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質問者からのお礼

なるほどです、納得できました! ありがとうございます<m(__)m>

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