• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

積分 ∫arcsin(2x)dx を解くのに苦戦しています。

積分 ∫arcsin(2x)dx を解くのに苦戦しています。 部分積分を用いてx*arcsin(2x)-∫x/(√1-4x^2) dx としたのですが、後半部分の積分がうまくいかず、 解答である x*arcsin(2x)+{(√1-4x^2)/2}になりません。 恐縮ですがご教授いただけると幸いです。よろしくお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数674
  • ありがとう数13

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)

後半は ∫2x/√(1-4x^2)dx では? √f(x)の微分は f '(x)/{2√f(x)}なので、 -2x/√(1-4x^2) はこの形になっています。 {√(1-4x^2)} ' =-4x/√(1-4x^2)だから -2x/√(1-4x^2)の積分は {√(1-4x^2)}/2 です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

2xを微分するのを忘れていました。頭の中で考えていたので、ずっと堂々巡りだったので、回答がわかるとスッキリしました。すぐに回答していただきありがとうございました。

関連するQ&A

  • 不定積分

    こんばんわ。私は今大学一年生で、今学期「解析概要」という授業をとっています。 そこでの不定積分の問題なんですが、分からないものがあったのでよかったら教えてください! (1)∫arcsin(x) dx (2)∫x^2/√(a^2-x^2) dx (1)はarcsin(x)=yとしてx=sin(y)で置換して積分したら、arcsin(x)sin(arcsin(x))+cos(arcsin(x)) と出したんですが、解答はxarcsin(x)+√(1-x^2)となっていました。どうすればこういう答えになるのでしょう? (2)は部分積分で挑戦しましたが出来ませんでした。 よろしくお願いします。

  • 積分の問題

    積分でわからない問題があります. (1)∫1/(a-sin x)dx (a>1) (2)∫[0,1](arcsin x)/√(1-x) dx (1)はsinx=tなどと置換してみましたが,複雑な式が出てくるばかりで解答の糸口が見えませんでした. (2)は部分積分によって出てきた項(1/{(1-x)√(1+x)})が積分できません.また,積分後もどのように解いていけばよいのかが不明です. アドバイスをお願いします.

  • 不定積分が解答と一致しません

    √{(x-1)/(2-x)}を積分せよ。という問題の答えが解答と一致しません √(2-x)=tと置いてx=2-t^2,dx==-2tdt  ∫√{(x-1)/(2-x)}dx =∫√(1-t^2)(-2tdt)/t =-2∫√(1-t^2)dt [∫√(1-t^2)dt]の部分は公式を使ったり、部分積分を用いたりして[{t√(1-t^2)+arcsint}/2](ここでは積分定数を省略) よって-√(x-1)(2-x)-arcsin√(2-x)+C(C:積分定数)だと思ったのですが、解答には arctan√{(x-1)/(2-x)}-√(x-1)(2-x)+Cとあります。 -√(x-1)(2-x)-arcsin√(2-x)+Cという答えはあっていますか?

その他の回答 (3)

  • 回答No.4

2x=sinθ とすると (dx/dθ)=(1/2)cosθ (d/dθ)(θsinθ+cosθ)=θcosθ だから ∫θdx =(1/2)∫θcosθdθ+c =(1/2)(θsinθ+cosθ)+c =(1/2)(2xarcsin(2x)+√(1-4x^2))+c =x*arcsin(2x)+{(√(1-4x^2))/2}+c

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

sinΘで置く方法を式で示していただきスムーズに、前の回答してくださった方の置換の方法を実践し、理解することができました。回答していただきありがとうございました。

  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

え~? まず最初に、 2x = sinθ で置換しようよ。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

合成関数の2xを微分し忘れていたせいでゴチャゴチャになっていたのですが、sinΘで置く方法が思いつかなかったので、別の問題を解く際に参考にしたいと思います。本当にありがとうございました。

  • 回答No.2

x(1-x^2)^{-1/2}の原始関数は求められますか? f(x)=1-x^2とおけば x(1-x^2)^{-1/2} = (-1/2) f'(x) f(x)^{-1/2} なんだから合成関数の微分を逆に考えればいいのです. つまり原始関数は (-1/2) 2f(x)^{1/2} = f(x)^{1/2} これが分かれば,x(1-4x^2)^{-1/2}もほぼ同じです.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

逆に考えると案外簡単にできました。合成関数の微分の逆という考えを別の問題で詰まった際に使ってみようと思います。ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 積分問題∫√(x^2+a)dxです。

    ∫√(x^2+a)dxの積分が分かりません。∫1/√(x^2+a)dxは部分積分を用いて、t=x+√(x^2+a)とおいてlog|x+√(x^2+a)|+c で解けましたが、同じようにできるのでしょうか。よろしくお願いします。

  • 定積分についての質問です。

    定積分についての質問です。 問題は ∫(0~1) {Sin^-1 (x)}^2 dx (アークサイン x の2乗) です。 部分積分も置換積分も通用しません! 解る方よろしくお願いします。

  • 積分です!∫(2x^2e^-x^2)dx

    ∫(2x^2e^-x^2)dxの積分が分かりません。 ガウス関数の積分を使うんでしょうか? 分からないので、計算方法も教えていただけると嬉しいです!

  • x/(a^2+x^2)の積分について

    x/(a^2+x^2)の積分について t=a^2+x^2とおいて dt=2xdx よって ∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫(1/t)dt=(1/2)*log(t)+C と置換積分により積分することが出来ますが、 部分積分では計算できないのでしょうか? (a^2+x^2)'=2x ∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx として計算できると思ったのですが、うまく行きません。 どなたかアドバイス頂けたら幸いです。

  • 不定積分の問題

    不定積分の問題ですが、部分積分法で解く問題ですが、考えても解答通りにならないので、ここで質問するに至りました。途中計算等を教えてください。お手数になりますが、どうか宜しくお願いします。 (1)∫x sec^(2)(x) dx 私が解くと、xtanx- sec^(2) + c になります。 (2)∫Tan^(-1)(x)dx (3)∫Sin^(-1) (x/3)dx (4)∫e^(-2x) sin3x dx ↑部分積分法を繰り返してもとめるのですが、どのような切り口で求めるのかが分かりませんでした。 答え (1) x tan(x) + log | cos(x) | + C (2) xTan^(-1) (x) - (1/2)log{x^(2) +1} + C (3) xSin^(-1) (x/3) + √(9-x^(2)) + C (4) {-e^(-2x)/13 } (2sin3x + 3cos3x ) + C

  • ∫arcsin(1)-arcsin(-1)dx

    計算をしていたら、∫[0→1]arcsin(1)-arcsin(-1)dx という式になりました。 arcsin(1)=π/2+2nπ、arcsin(-1)=(3/2)π+2mπ(n、mともに整数) から、 arcsin(1)+arcsin(-1)=π/2+2nπ-(3/2)π+2mπ=-π+2kπ(kは整数) よって ∫[0→1]arcsin(1)-arcsin(-1)dx =(-π+2kπ)[x][0→1] =-π+2kπ このような考え方でよろしいのでしょうか?宜しくお願い致します。 

  • 部分積分法

    部分積分法にて解きましたが途中計算のどこかが間違っており答えにたどり着きませんでした。 ミスした箇所を教えていただけると嬉しいです。 ∫x^(2) (e^x) dx = x^(2) ・-e^(-x) - ∫2x・-e^(-x) dx = -x^(2)・e^(-x) + 2∫xe^(-x) dx  ・・・(1) ----------------------- 上記の式の∫xe^(-x) dx について積分 ∫xe^(-x) dx = -xe^(-x) - ∫-e^(-x) dx = -xe^(-x) + e^(-x) dx これを(1)の部分に当てはめる = -x^(2)・e^(-x) + 2{ -xe^(-x) + e^(-x) } = -x^(2)・e^(-x) - 2xe^(-x) + 2e^(-x) = -{x^(2) + 2x - 2 }e^(-x) + C     ← 答え しかし解答は  -{x^(2) + 2x + 2 }e^(-x) + C になります。私の回答とは +2 と-2の違いなのですが、 どこから、差がでているのかがわかりませんでした。

  • 積分の使い分けの仕方

    高校数学の積分です。 ∫[0,1] x*(e^-x^2) dx = [x*(-1/(2x))e^-x^2][0,1] = [(-1/2)e^-x^2][0,1] となるのに ∫[0,1] (x^3)*(e^-x^2) dx = [(x^3)*(-1/(2x))e^-x^2][0,1] = [(-(x^2)/2)*e^-x^2][0,1] とはせずに、部分積分を使うのは何故でしょうか。 回答お願いします。

  • 積分の問題教えてください

    積分の問題教えてください 1,部分積分 (1)∫xe^(2x) dx (2)∫xsin2x dx (3)∫(logx)/(x^3) dx (4)∫log(1+x) dx 2,置換積分 (1)∫(dx)/(2x+1)^3 (2)∫x((x^2)+1)^5 dx (3)∫x(e^(-x)^(2)) dx (4)∫cos^(3)xsinx dx (5)∫e^(x)cosx dx の9問です。 どうかお願いします。

  • 不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+Cの証明で

    不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+C を証明ですが、 x=sin(θ)と置換すると、 dx=cos(θ)dθより、 ∫dx/√(1-x^2) =∫cos(θ)dθ/√(cos^2(θ)) =∫cos(θ)dθ/|cos(θ)| ここでこの絶対値をどのように処理すればよいのでしょうか?