原点を中心としない円の積分範囲について

質問

原点を中心としない円の積分範囲の扱いが分かりません。
お手数をお掛けいたしますが、以下の考えのミスをご指摘下さい。

∬(x-1)dxdy
積分範囲：x^2-2x+y^2≦0 , x≧0

先ず、(x-1)^2+y^2≦1として、積分範囲はx=1を中心とした半径1の円になります。これでx≧0 は満たされると思います。

又、x=1を中心とした半径1の円なので、0≦x≦2 , -1≦y≦1です。

∫[0 2]dx∫[-1 1] (x-1)dyを計算しますと、2∫[0 2](x-1)dx=0になりますが、間違っている気がします・・・

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

被積分関数 x - 1 は直線 x = 1 に関して反対称です（y のどの値に対しても、その直線の左右で直線からの距離が同じ点では絶対値が同じで符号が逆）。また、積分領域はその直線に関して対称です。よって、積分の結果が 0 になることは計算しなくてもわかります。

なお、積分を実行する場合、

>∫[0 2]dx∫[-1 1] (x-1)dyを計算しますと、2∫[0 2](x-1)dx=0になりますが

で、y に関する積分の下端と上端が間違っています。
x^2 - 2 x + y^2 <= 0
ですから
y^2 <= 2 x - x^2。
よって、下端は -√(2 x - x^2)、上端は +√(2 x - x^2) です。これより、1 を y に関して積分した結果は
2・√(2 x - x^2)
であり、求める積分は
∫_0^2 {(x-1)・2・√(2 x - x^2)} dx
　= (-2/3)[(2 x - x^2)^(3/2)]_0^2
　= 0
となります。

お礼

ありがとうございます！
よく理解できました。