多重積分と極座標

質問

大１ですが
多重積分の基本はわかってるつもりなんですが・・・応用がわかりません二問続けて投稿してますがご勘弁を
（１）中心（√3，0）、半径√3の円内部と中心（0，1）半径１の円の内部の共通部分をΩとしたとき∬Ω（ｙ/x）dxdyを求めなさいという問題なんですが　極座標を使って
∫[0～π/3]（∫[0～2√3Cosθ]<ｒtanθ>dr)dθ ＋ ∫[π/3～π/2]（∫[0～2Sinθ]<ｒtanθ>dr)dθ
であらわして計算していったところ右左それぞれが
　3∫[0～π/3]（sin2θ）dθ　＋　2∫[π/3～π/2]（sin^2θ・tanθ）dθ　となった
んですがこれから先（特に左の式が・・・）進めません　多分これであってるはずですがどっかにミスがあるんでしょうか？　それともこれ積分をどうにかしなければならないんでしょうか（なんか出来なくなはなさそうな気もするし・・・）　わからんです　ご教授お願いします
＜（__）＞
（２）こっちは解法の方向だけでも教えていただければありがたいのですが
原点を中心とした半径√3の円の内部と中心（0，1）半径１の円の内部との共通部分をΩとして、同様な方法で ∬Ω（1/y）dxdyを求めよってことらしいんですが
これは極座標でやるとどうなるんでしょう？
θの角度によって（π/3と2π/3でくぎる）分けなくちゃいけないんでしょうか？
普通にやったほうが楽っぽいですが・・・
ちょっと数式がみにくいですが、お願いします（πはパイ（ラジアン）です念のため）

回答No.1

info22

(1)
>∫[0～π/3]（∫[0～2√3Cosθ]<ｒtanθ>dr)dθ ＋ ∫[π/3～π/2]（∫[0～2Sinθ]<ｒtanθ>dr)dθ
rについての積分範囲が逆です。
I=∫[0～π/3]（∫[0～2ｓinθ]<ｒtanθ>dr)dθ
＋ ∫[π/3～π/2]（∫[0～2√3cosθ]<ｒtanθ>dr)dθ
(θを固定してrで積分後、θで積分します。)
=∫[0～π/3]<4sin^2θtanθ>/2dθ
＋ ∫[π/3～π/2]（∫<12cos^2θtanθ>/2)dθ
=2∫[0～π/3]<(1-cosθ^2)sinθ/cosθ>dθ
＋6 ∫[π/3～π/2]（∫<sin(2θ)/2>)dθ
= {2log(2)-(3/4)}+(3/4)
=2log(2)(logは自然対数)

(2)極座標でもそのまま積分でも、その他の変数変換でも良いかと思います。
そのまま積分するなら
I=∫[0～3/2](1/y)(2∫[0～√{1-(y-1)^2}]dx)dy
+∫[3/2～√3](1/y)(2∫[√{1-(y-1)^2}～√3]dx)dy
と表せます。

変数変換x=rcosθ,y-1=rsinθを使うと
dxdy=rdrdθ
1/y=1/(1+rsinθ)
I=∫[-π/2～π/6](∫[0～1] r/{1+rsinθ}dr)dθ
+∫[5π/6～3π/2](∫[0～1] r/{1+rsinθ}dr)dθ
+∫[π/6～5π/6](∫[0～√{2+(sinθ)^2}-sinθ] 2r/(4-r^2)dr)dθ
と表せます。

なお、式中の不定積分については参考URLの不定積分サイトで積分のチェックをされると良いと思います。

参考URL：

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

お礼

はい（１）については自分もあとでもう一回やってみてミスに気づきましたどうもありがとうございます
（２）はとりあえず先に変換まえの式で積分の形を作ったほうがよかったんですね・・・　わかりましたどうもありがとうございます