根号を含む積分範囲の変換について(重積分)

質問

積分範囲の変換に自信がありません。お手数を掛けますが、回答者の皆様に添削をお願いしたく思います。

∫∫x dxdy

積分範囲：√x+√ｙ≦1, x≧0 , y≧0

極座標変換も考えたのですが、計算が複雑になりそうなので別の方法で考えます。

積分範囲より　0≦√x≦1　, 0≦1-√x

0≦1-√xかつ√x+√ｙ≦1　⇒　ｙ≦(1-√x)^2

∴　0≦ｙ≦(1-√x)^2

0≦√x≦1より　0≦x≦1

以上より

積分範囲は　0≦x≦1　,　ｙ≦(1-√x)^2
と考えてもよいのでしょうか？

グラフを考えると合っている気もしますが…
ご指導をお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>積分範囲：√x+√ｙ≦1, x≧0 , y≧0

>積分範囲は　0≦x≦1　,　ｙ≦(1-√x)^2
と考えてもよいのでしょうか？
ちょっと不完全です。

正解は
0≦x≦1,0≦ｙ≦(1-√x)^2
または
0≦y≦1, 0≦x≦(1-√y)^2
のどちらでもいいです。

前の積分範囲で逐次積分する場合は
∫∫[D] x dxdy =∫[0,1] x{∫[0,(1-√x)^2] dy}dx

後の積分範囲で逐次積分する場合は
∫∫[D] x dxdy =∫[0,1] {∫[0,(1-√y)^2] x dx}dy

という積分で表せます。

お礼

いつもお世話になっております、info22_さん。

0≦ｙの部分が意識から抜けていました…orz

ともあれ、書き込み、ありがとう御座います！

回答No.1

noname#130496

0≦x≦1, 0≦ｙ≦(1-√x)^2で合ってます。

お礼

添削、ありがとうございます！
自信が持てました。