重積分

質問

∬(x^2n+2(y^2n)+1)exp(x^2+y^2)dxdy
積分範囲は原点中心半径１の円の内部です。
初めの括弧の中身は
(xの2n乗) + 2かける(yの2n乗) + 1
です。
積分範囲が円なので極座標に変換したんですけど
いまいち分かりませんでした。
どうやるのか手順だけでも参考に聞かせてください。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

このサイトで文を送る時，添字を表わす小さい文字がないので困ります。0から1までの定積分を∫{0,1}drとして
　I_n =∫{0,1}r^(2n+1)exp(r^2)dr　(n=0,1,2,…)
と表わすことにします。
　I_n＝(e/2) - n I_n-1　…(1)
で合っていると思います。この漸化式は(e/2)という「非斉次項」がなくて
　I_n＝ - n I_n-1
という形であれば
　I_n＝ (-1)^n n! I_0
が一般項となります。そこで微分方程式の定数変化法のまねをして
　I_n＝ (-1)^n n! a_n・I_0
とおいて(1)に代入してみると
　a_n - a_n-1 = (-1)^n (e/2I_0)/n!
となりました。この漸化式と
　a_0 = 1,　I_0 = (e-1)/2
を用いると
　I_n
　= (-1)^n n!((e-1)/2){1+(e/e-1)Σ{k=1～n}(-1)^k/k!}
となりました。違っていたらごめんなさい。

お礼

cosの方はΣじゃなくてΠでした。
しかも一般項に直さないといけませんでしたね。
ありがとうございます。
計算して見ます。

回答No.1

grothendieck

tokomathさん、こんにちは。手順だけ示します。極座標に変換すると，
　∬(x^2n+2(y^2n)+1)exp(x^2+y^2)dxdy
　=∫{(rcosθ)^2n + 2(rsinθ)^2n +1}exp(r^2)rdθdr
となりますから、
　∫(cosθ)^2n dθ　(n=1,2,…)　　　　…(1)
　∫r^(2n+1)exp(r^2)dr　(n=0,1,2,…)　…(2)
の積分ができれば良いことになります。(1)は、部分積分すると
　∫(cosθ)^2n dθ
　=sinθ(cosθ)^(2n-1)
　　　+(2n-1)∫sinθ^2(cosθ)^(2n-2) dθ
だから
　2n∫(cosθ)^2n dθ
　 = sinθ(cosθ)^(2n-1) +(2n-1)∫(cosθ)^2(n-1) dθ　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…(3)
また、
　∫(cosθ)^2 dθ = (1/4)sin(2θ) +θ/2　…(4)
(3)(4)から(1)の積分が出来ます。(2)は
　∫rexp(r^2)dr = (1/2)exp(r^2)
だから、部分積分をすると
　∫r^(2n+1)exp(r^2)dr
　= r^2n (1/2)exp(r^2) - n∫r^(2n-1)exp(r^2)dr
という漸化式より求められます。

お礼

どうもありがとうございます。
やっぱりどっちも漸化式になるんですね。
長くなりそうだったのでもっと良い解法があるかなとおもったんですけどそう甘くは無いみたいですね。
cosの方はやってみたら
２π×Σ(2k-1)/2k　…(kは1～n)
となりました。
これは計算しなくても覚えてるから良かったのですが、問題は次でして
expの入った方の積分をInと置いたところ（nは添字）
In＝e/2-nI(n-1)　…(n-1は添字)
って漸化式になりました。
これをどう計算していいかに困ってしまいました。
計算間違ったでしょうか？