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積分結果が発散しない関数の限界
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遅くなったがかなりおもしろい問題だわ。 f(x)=logx,f2(x)=f(f(x))とdefして G(x)=1/x(f(x))^k1(f2(x))^k2(f3(x))^k3・・・・・(fn(x))^kn について考えてみる。(nは1以上の自然数、k1,・・・,knは0以上の実定数) 独自の計算結果により次のことが分かっている。 (i) k1,・・・・・,kn>1 ならば G(x)をある値から∞まで積分すると収束する。以降その積分値を単にJとおく。 (ii) k1,・・・・・,knが全て1ならば Jは発散する。もちろんk1,・・・・・,kn≦1の範囲であっても同じ (iii) k1=k2=・・・・k(n-1)=1かつkn>1ならばJは収束する。 (1V) 任意の自然数i(1≦i≦n)に対してk1,・・・,ki>1かつ0≦k(i+1),・・・・,kn≦1 であれば Jは収束する。 以上からしてk1,・・・・・,knが全て1で境目がつく気もするが安易にそう考えてはいけないのが その質問の趣旨。以下の場合のみまだ自分でもできていない k1,・・・・,ki<1 かつk(i+1),・・・・・,kn>1のときJは収束するかどうか。 (iは1≦i≦nでのある自然数) それを考えて後日時間かかるかもしれないが投稿する予定。
おかしくもなんともない。情けないミスだ。すまん x>1で1/(x log x)<1/xlog(logx)だから1/xlog(logx)を1から∞まで積分すれば発散するのは当たり前だ。まあそれはおいといて 1/x(logx)^kについて考えると ∫1/x(logx)^k ={(logx)^(1-k)}/1-kだから k>1ならばある値(ただし1よりは大きい)から∞にそって積分すれば ∫1/x(logx)^k はきっちりと収束する。だからとりあえず境目は1/x(logx)になるのかな。
もともとの関数の条件がなんだかは分からないが、以下のように考えてみればよい。 f(x)=x^k(kは実定数)とおいてf(x)をある値aから∞のそって積分する。 すると∫f(x)dx (a~∞)=[(x^(k+1))/(k+1)]|x=∞ー[(x^(k+1))/(k+1)]|x=a ここでk+1>0ならば発散し、k+1≦0なら収束する。 >>1/x log log xだと積分するとLi(log x)で発散です。 おかしいなあ。積分区間は何?
補足
x^{-k}の場合はゼータ関数との関連でよく知られています。 問題はk=1の場合の精密化です。 1/(x log x)ではlog log xで発散しますが、 1/(x log x (log x)^2)では1/log log xで収束するので、 境目はこの二つの間にあることは明らかです。 >>1/x log log xだと積分するとLi(log x)で発散です。 >おかしいなあ。積分区間は何? \int_1^\infty 1/(x\log \log x)=[Li(\log x)]_1^\infty=+\infty です。
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補足
>だからとりあえず境目は1/x(logx)になるのかな。 繰り返しになりますが、これがどこまで精密化できるかが問題です。 1/x(log x)(log log x)の積分は発散しますが、 1/x(log x)(log log x)^2の積分は収束します。 logを取るのを繰り返せば、どんどん精密化できます。 この境目を数式で書くことはできるのでしょうか?