発散積分について

質問

∫[-π/4,π/4] dy/sin(2y) = 0　は、正しいでしょうか？

私は、この積分は発散し、値を持たない　…と考えています。

積分の収束性、その値、と両者の根拠について、
どなたか御教示頂ければ幸いです。
自分の間違いを了解することができれば　…と思います。
是非「理由の説明付きで」宜しく御願いします。

回答No.2

PRFRD · ベストアンサー

積分の解釈次第だと思うのですが，
値を持たない（積分できない）と解釈するのが普通だと思います．

理由はきっと質問者さんと同じですが，確認のため繰り返します．
まず，被積分関数は y = 0 で定義されていないので，
積分がどのような意味かを考える必要があります．
代表的だと思う解釈と，対応する結果は以下のようになります．
　(1) リーマン広義積分 ＝＝＞ 可積分でない
　(2) (1) のコーシー主値 ＝＝＞ 0
　(3) y = 0 を適当に定めてリーマン積分 ＝＝＞ 可積分でない
　(4) y = 0 を適当に定めてルベーグ積分 ＝＝＞ 可積分でない
わたしは (1) か (4) が自然だと思うので，積分できないと解釈します．

(1) 広義積分
　∫[-π/4,-s] dy/sin(2y) + ∫[t,π/4] dy/sin(2y)
と，十分小さな s > 0, t > 0 を取って計算すると
　= log(tan(s/2)) - log(tan(t/2))
となり，s → +0 と t → +0 の近づけ方によって値が変わるので
広義リーマン可積分ではありません．

(2) コーシー主値 ＝＝＞ 積分値は 0
(1) の計算の最後でコーシー主値（ s = t → 0 と近づける）だと
解釈すれば，各項がキャンセルして 0 となります．
ちなみに，とある質問にあった計算結果は，
すべてこの意味で解釈すると正しい結果ですが，
主値ならそれを明記するのが慣習だと，わたしは思っています．

(3) y = 0 を定めてリーマン積分
分割の選び方次第で積分値が変わるので，リーマン可積分になりません．
この計算は本質的に (1) と同じことをやります．

(4) y = 0 を定めてルベーグ積分
絶対値を取った部分について，(3) と似た方法で，
積分が発散する，下からの単関数近似を構成できるので，
ルベーグ可積分ではありません．
＃実は (1), (2) で違いがでるものはルベーグ可積分になりません．

お礼

ご回答ありがとうございます。
この質問は、一部の文章が管理者により削除されましたが、
内容から見て、削除前の版をご覧いただけたようです。
私の理解が間違っていなかったようで、ホッとしました。
独学なもので、自信を持って変な事を書く人がいると、
タジろいでしまうのです。

回答No.4

gef00675

他の方の回答に付け加えることは何もないのですが、日ごろから気になっていた点なので蛇足になりますがコメントします。参考にならなければ、バカの独り言と思ってください。
この問題が、仮に、1/sin(2y) という関数の不定積分あるいは原始関数を求めよ、という問題だったらどう答えましょうか。y=0で連続でなく、その点をまたぐ広義積分も存在しないわけですから、どの点を起点としてもy=0をまたいで積分区間を延長していくことができません。そういう場合、私は、原始関数として
y>0の場合、(あるyの式)+定数1
y<0の場合、(あるyの式)+定数2
というように、積分定数を別に用意して処理しています。こういうことを許すと、勝手に区間を分割してやればいくつでも積分定数を増やしていくことができてしまいますが、積分定数を２個だけにしたのは、y=0以外の点で連続になるようにするためです。
お恥ずかしい話ですが、私は学生時代に
∫[-1,1] dx/x^2 =[-1/x]= -1 - 1 = -2
とやってしまい、正の関数の積分が負になるわけないだろ！ドアホ！
と言われました。
不連続点に気づかないというのは、うかつですよね。
参考にならなかったらごめんなさい。

お礼

ご回答ありがとうございます。

その件は、私も以前から気になっていました。
過去に、それについてコメントした質問もあり、
今回質問文にリンクを置いておいたのですが、
削除をくらったようです。
再掲すると、お礼まで削除されかねないので、
それは控えます。

定積分が、不定積分の差で表されるのは、
積分区間の両端を代入したときに
積分定数が相殺されるからで、今回のように
定数１－定数２ が任意定数として残ってしまう
場合には、定積分の値が定義されない…
定数１ と 定数２ が独立であることと、
No.2 仰る s と t が独立であることが対応し、
微積分の基本定理で繋がっているのかな？
と感じています。

回答No.3

Ae610

x=0で特異点が存在するので、

∫[-π/4,π/4] dy/sin(2y)
＝lim[ε→0]｛∫[－π/4,－ε]dy/sin(2y)＋∫[+ε,π/4]dy/sin(2y)｝
ここで、第一項目の積分は
lim[ε→0]｛[1/2*log|tan(y)|](－π/4,－ε)｝
＝lim[ε→0][1/2*log|tan(ε)|]→－∞
第二項目の積分は
lim[ε→0]｛[1/2*log|tan(y)|][+ε,π/4]
＝lim[ε→0][－1/2*log|tan(ε)|]→∞
となって共に発散するので広義積分は存在しない。

一点、x=0を除いた区間においては、
∫[-π/4,π/4] dy/sin(2y)
＝lim[ε→0][1/2*log|tan(y)|][-π/4,π/4]
＝lim[ε→0]｛1/2*log|tan(π/4)|－1/2*log|tan(-π/4)|｝
＝0
となって、積分は、コーシーの意味において存在する。

と言うような解釈になるのではないでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
特に注釈なく、コーシーの主値を発散積分の値として
良いものか？ というのが、今回質問の趣意でした。
舌足らずで申し訳ありません。ご回答は、参考になりました。

回答No.1

orcus0930

こう考えればいんじゃないかなと思います。

∫[-π/4,π/4] dy/sin(2y)
=∫[-π/4,0] dy/sin(2y) +∫[0,π/4] dy/sin(2y) 　（＊）

y= -xとして
置換すると、
∫[-π/4,0] dy/sin(2y)　　
=∫[π/4,0] -dy/sin(-2x)
=∫[0,π/4] dy/sin(-2x)
=-∫[0,π/4] dy/sin(2x)
とできるので、

（＊）=-∫[0,π/4] dy/sin(2y) +∫[0,π/4] dy/sin(2y)
=0

として、値を持つなら0になるのはわかりますが、
収束性の議論はもうちょっと考えないといけない気がします。

お礼

ご回答ありがとうございます。
収束性についての質問です。