数学3の問題について質問です！

質問

解法がわかりません。二題ありますがどちらか一つでもいいの教えてください。おねがいします！
1)
∞
Σy(1-x-y)^k=x
k=0
で定められるxの関数yのグラフを書け。

2)

無限級数
∞
Σ(1/3)^ncosn/3π
n=1
の収束
発散を調べ、収束する時はその和を求めよ。

なにかあれば補足します。よろしくお願いします！

回答No.3

ferien

＞1)です。
∞
Σy(1-x-y)^k=x
k=0
＞で定められるxの関数yのグラフを書け。
∞
Σy(1-x-y)^k=x
k=0
＝ｙ（１－ｘ－ｙ）^0＋ｙ（１－ｘ－ｙ）＋ｙ（１－ｘ－ｙ）^2＋……
初項ｙ，公比（１－ｘ－ｙ）の無限等比級数だから、収束するためには、
－１＜１－ｘ－ｙ＜１であればよいから、
ｙ＞－ｘ，ｙ＜－ｘ＋２　……（１）、
級数の和＝ｙ／｛１－｛１－ｘ－ｙ）｝＝ｘより、
ｙ／（ｘ＋ｙ）＝ｘ
ｙ＝（ｘ＋ｙ）ｘ＝ｘ^2＋ｘｙ
（１－ｘ）ｙ＝ｘ^2
ｙ＝ｘ^2／（１－ｘ）（ｘ≠１）……（２）
グラフは、この式の（１）の直線で挟まれた部分（交点を除く）
交点は、
ｙ＝－ｘのとき、（２）へ代入して、ｘ＝０，ｙ＝０
ｙ＝－ｘ＋２のとき、（２）へ代入して、ｘ＝２／３，ｙ＝４／３
よって、求めるグラフの式は、
ｙ＝ｘ^2／（１－ｘ）（０＜ｘ＜２／３，０＜ｙ＜４／３）

でどうでしょうか？　グラフは双曲線の一部になると思います。

回答No.2

ferien

＞2)だけです。

無限級数
∞
Σ(1/3)^ncosn/3π
n=1
＞の収束
＞発散を調べ、収束する時はその和を求めよ。
－１≦cos（ｎπ/3）≦１より、－(1/3)^n≦(1/3)^ncos（ｎπ/3）≦(1/3)^n
ｎ→∞のとき、(1/3)^n→０より、(1/3)^ncos（ｎπ/3）→０
無限級数は収束する。
Σ（ｎ＝１～∞）(1/3)^ncos（nπ/3）
＝(1/3)cos（π/3）＋(1/3)^2cos（2π/3）＋(1/3)^3cos（π）＋(1/3)^4cos（4π/3）
＋(1/3)^5cos（5π/3）＋(1/3)^6cos（２π）＋……
＝(1/3)(1/2)＋(1/3)^2(-1/2)＋(1/3)^3（－１）＋(1/3)^4(-1/2)＋(1/3)^5(1/2)
＋(1/3)^6×１＋……
＝(1/2)（1/3＋1/3^5＋1/3^7＋1/3^11＋…）＋(-1/2)（1/3^2＋1/3^4＋1/3^8＋1/3^10＋…）
＋(-1)（1/3^3＋1/3^9＋1/3^15＋…）＋１×（1/3^6＋1/3^12＋…）
＝(1/2)（1/3＋1/3^7＋…）＋(1/2)（1/3^5＋1/3^11＋…）－(1/2)（1/3^2＋1/3^8＋…）
-(1/2)（1/3^4＋1/3^10＋…）－1/3^3－（1/3^9＋1/3^15＋…）＋（1/3^6＋1/3^12＋…）
＝｛３^6／（３^6－１）｝｛(1/2)(1/3)＋(1/2)（1/3^5）－(1/2)(1/3^2）－(1/2)(1/3^4）
－1/3^9＋1/3^6｝｝－1/3^3
＝｛３^6／（３^6－１）｝×｛１／２×３^9｝（３^8＋３^4－３^7－３^5－２＋２×３^3）－1／27
＝533/182－1/27
＝（５３３－１８２）／１８２×２７
＝１／１４
公比1/3^6の等比級数の和が、６箇所に分かれています。計算を確認してみて下さい。

回答No.1

Tacosan

1 条件に注意して左辺を計算する
2 定義通り