級数・関数

質問

xを2と異なる実数とするとき無限級数
(x-4)+x(x-4)/(2x-4)+x^2(x-4)/(2x-4)^2+・・・+x^n-1(x-4)/(2x-4)^n-1
を考える。
(1)この無限級数が収束するとき実数xのとりうる値の範囲を求めよ。

(2)(1)で求めた範囲のxに対して,与えられた無限級数の和をf(x)で表す。
(i)f(0),f(4)を求め、f(x)=6となるxを求めよ。

(ⅱ)関数y=f(x)のグラフと直線y=x/2+kが共有店を持つような実数kの範囲を求めよ。

(ⅲ)関数y=f(x)のグラフは放物線y=x^2/4-4と3個の共有店を持つ。
それらの点のx座標を小さいほうから順に答えよ。

答(1)x<4/3,x≧4
(2)(i)f(0)=-4,f(4)=0,f(5)=6
(ⅱ)k≦-2,k>2
(ⅲ)x=0,4,8

自分でやってみると例えば(1)が何度やってみてもx>4/3,x≧4になったりとおかしなことになってしまいました。
どうすれば全てちゃんとした答にたどりつくのか解説をお願い致します。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

malxさん、こんにちは。

＞xを2と異なる実数とするとき無限級数
(x-4)+x(x-4)/(2x-4)+x^2(x-4)/(2x-4)^2+・・・+x^n-1(x-4)/(2x-4)^n-1
を考える。
(1)この無限級数が収束するとき実数xのとりうる値の範囲を求めよ。

まず、この答えが合わないということですが、
この無限等比級数の公比は、

x/(2x-4)ですよね。
無限等比級数が収束する条件は、公比が

-1<x/(2x-4)≦1
ですから、これを解けばいいのです。

1)x/(2x-4)≧0のとき、
0≦x/(2x-4)≦1
x(2x-4)≦(2x-4)^2=4x^2-16x+16
2x^2-4x≦4x^2-16x+16
2x^2-12x+16≧0
x^2-6x+8=(x-2)(x-4)≧0
x≦2,4≦x
となります。

2)x/(2x-4)<0のとき
-1<x/(2x-4)<0ですから
-(2x-4)^2<x(2x-4)
-4x^2+16x-16<2x^2-4x
6x^2-20x+16>0
3x^2-10x+8>0
たすきがけで
３　　－４　　－４
１　　－２　　－６
------------------
　　　　　　　－１０
(3x-4)(x-2)>0
となるので、
x<4/3,x<2となります。

1)2)を合わせた範囲は、x<4/3,4≦x
となるので、答えと合っています。
ご参考になればうれしいです。

お礼

遅くなり申し訳ありませんでした。
御回答ありがうございました。
解答としては一応は分かったのですが一つ疑問がありまして
どうして公比が正の場合と負の場合とで場合わけするのでしょうか？宜しくお願いします。

回答No.4

fushigichan

＃１です。お礼コメントありがとうございます。

＞どうして公比が正の場合と負の場合とで場合わけするのでしょうか？宜しくお願いします。

＞-1<x/(2x-4)≦1

この公比の正負での場合分けですね。
もちろん、いっきに分母の２乗である、(2x-4)^2をかけて

-(2x-4)^2<x(2x-4)≦(2x-4)^4
として、
-(2x-4)^2<x(2x-4)の部分より
-4x^2+16x-16<2x^2-4x
6x^2-20x+16>0
3x^2-10x+8>0
(3x-4)(x-2)>0であるから
x<4/3,x<2・・・(1)

そしてx(2x-4)≦(2x-4)^4の部分より
2x^2-4x≦4x^2-16x+16
2x^2-12x+16≧0
x^2-6x+8=(x-2)(x-4)≧0であるから
x≦2,4≦x・・・(2)

として(1)(2)を合わせた範囲x<4/3,4≦x
が答えである、としてもいいのです。

場合わけしたのは、どっちみち２つの不等式を解かねばならないので
分かりやすいかな？と思ったのですが、＃４の解法のほうが分かりやすければ
どちらでもいいですよ。

＃２KENZOUさんへの補足ですが
＞どうしてf(4)=0になるのでしょうか？
f(x)=2x-4にx=4を代入するとf(4)=4ではないのですか？

確かに、f(x)=2x-4にx=4を代入すればf(4)=４ですね。
しかし、これは無限等比級数が収束するとき、ですね。

＞初項がａ、公比がｒの無限級数を
　a＋ar＋ar^2+・・・＋ar^(n-1)＋・・・　　　(1)
とした場合、その級数の和Snはｒ≠1のとき
　Sn＝ａ(1-r^n)/1-r　　　(1)

ということを見てもらっても分かりますように、収束するのは
公比が-1<r<1のときだけですね。

r=1のとき、すなわちここでは
x/(2x-4)＝１のとき、つまりx=2x-4ですからx=4のときは
この収束した値
＞Sn＝ａ/(1-r)　

この式は使えないことになりますね。
なぜならr=1ですから、（分母）＝０となってしまうからです。

このr=1のときは、元々の式は
Sn=(x-4)+x(x-4)/(2x-4)+x^2(x-4)/(2x-4)^2+・・・+x^n-1(x-4)/(2x-4)^n-1
=(x-4)+(x-4)+・・・・+(x-4)←n個の(x-4)の和
=n(x-4)
となりますが、今はx=4の場合を言ってるわけですね。
このとき、代入すればすぐに
Sn=0
が得られますね。

KENZOUさんは、その意味でf(4)=0とおっしゃったのではないかと思いますが
f(x)=2x-4という式にx=4を代入しても０にはなりません。
x=4というときだけ、f(x)を使わずに別に考えたほうがいいかも知れないです。

お礼

ご解答有難うございました。
おかげさまでなんとか理解できました。

回答No.3

KENZOU

＃２のKENZOUです。
＞どうしてf(4)=0になるのでしょうか？
＞f(x)=2x-4にx=4を代入するとf(4)=4ではないのですか？
ガ～ん！！まさにその通りですね。
f(x)＝(x-4){(1-r^n)/1-r}＝(x-4)/(1-r)
から早とちりして分母の計算もせずf(4)=0とやってしまいました(笑い）。これは問題の無限級数の式に立ち戻らないと行けませんね。というのは|r|≠１という条件で和f(x)をだしていますから。ッいうことで与式をみるとすべての項に(x-4)がかかっていますからx=4ですべての項は０となりますね。従ってf(4)＝０。お騒がせしました。

お礼

ご解答有難うございました。
おかげさまでなんとか理解できました。

回答No.2

KENZOU

(1)の答えはfushigichanさんが出されていますので、(2)を調べてみましょう。
初項がａ、公比がｒの無限級数を
　a＋ar＋ar^2+・・・＋ar^(n-1)＋・・・　　　(1)
とした場合、その級数の和Snはｒ≠1のとき
　Sn＝ａ(1-r^n)/1-r　　　(1)
となりますね。無限級数が収束する必要十分条件は
　|r|＜１　　(2)
ですから、n→∞まで取ったときr^n→０となり、この結果Snは
　Sn＝ａ/(1-r)　　(3)
と簡単になります（これが収束する無限級数のミソ）。

＜2-ⅰ＞
さて、問題の無限級数の公比をｒ(=x/(2x-4)）とするとその和f(x)は
　f(x)＝(x-4){(1-r^n)/1-r}＝(x-4)/(1-r)
　　　＝2x-4　　　(4)
と書けます。これから
f(0)＝-4、f(4)＝0がすぐでてきます。またf(x)＝6を満たすxも2x-4＝6よりx＝5となります。

＜2-ⅱ＞
ｘの取り得る範囲はx<4/3，x≧4ですからf(x)のグラフ（直線）を書くと丁度4/3≦ｘ＜4の範囲は中抜けの直線となります。これがy＝x/2+kと共有点を持つためにはｋの値がf(x)の直線の中抜け部にかからないような値をとる必要があります。この辺は絵を書けばすぐ分かるので是非絵を書いて調べてください。結論からいうとy=x/2+kの直線が点(4,4)を通る場合のｙ軸との切片をｋ0とするとk0＝2となるので
　ｋ≧2
また点(4/3,-4/3)を通る場合の切片をk1とするとk1＝-2となるので
　ｋ＜-2

＜2－ⅲ＞
y＝f(x)と放物線が共有点をもつと言うことは共通のｘをもつということですから
　f(x)＝x^2/4-4　　(5)
の方程式を解けばよいことになります。計算の結果
　ｘ＝0,8　　
となります。ここで気を許してはダメなんですね。この放物線のグラフはｘ軸の(4,0)を通ります。つまりx＝4も共有点だ！ということになります（←是非絵を書いて確認してください）。従って、小さい順に並べると　x＝0,4,8

お礼

遅くなりまして申し訳ありませんでした。
ご解答有難うございました。
まだ、少し分からないところがありまして、
どうしてf(4)=0になるのでしょうか？
f(x)=2x-4にx=4を代入するとf(4)=4ではないのですか？
宜しくお願いします。