ε-N論法について

質問

先ほど数学の極限の問題を解いていて
分からないところがありましたので質問しにきました。
ε-N論法を用いる大学1年生の数学の教科書にあった問題です。

「an＝１/nの数列がｎ→∞のときに0に収束することを証明し、
さらに、ε＝１０＾－３のとき対応するNの値を求めよ」という問題で、
証明の方はできたのですが、Nの値を求める方の答えがしっくりきません。

自分の出した値はN＝1001なのですが、教科書にはN＝1000とあります。
N＞１/εとなったのでN＞1000よってN＝1001ではないのでしょうか？
Nが1000だとｎ≧Nなのでｎ＝1000のとき｜１/n-0｜＜εより0.001＜0.001と
なってしまうので間違っていると思うのですが…

それともε-N論法はｎ≧Nではなくｎ＞Nなのでしょうか？
これだと、すっきりいくのですが…
参考書にはｎ≧Nで、教科書にはｎ＞Nで書いてあります。
正直こんがらがって頭が痛いです(泣)

この様な質問をネット上でするのは今回が初めてですので、
見にくい所が多々あると思いますが、どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

gomagoma427 · ベストアンサー

ε-N論法は　ｎ≧N　でも　n＞N　でもどちらを使っても良いです。

どちらでもＮの選択に変わりがないという意味ではありません。どちらを使っても議論の本質には変わりはないということです。等号を使うか、不等号を使うかによってもちろんＮの値は変わります。

教科書ではn＞Nとしているため、Ｎ＝１０００で議論が成立しているのです。別に参考書や教科書によって違うというわけではなく、単に等号・不等号の違いなので、ｎ≧Nを議論の中で使ったのであればN=1001を使わなければなりません。

どちらか片方を使わなければいけないというわけではないですし、どちらかに統一しなければいけないというものでもありません。そのときの気分でどっちを使っても良いものです。センター試験の穴埋め問題ではありませんので、Ｎがひとつしか選びようがないわけではないのですし。

お礼

なるほど‼この問題では最初の証明に＞と≧のどちらを使うかによって
Nの値が変わってくるということですね。
とても分かりやすく説明していただきありがとうございます。

質問文を投稿した後ご飯を食べて戻って来たときには回答が来ていたので
あまりの早さに驚きました。今日は本当に助かりました。ありがとうございました。