ε-δ論法を用いた証明

質問

ε-δ論法をもちいて数列{an}が収束しないことを示せ、という問題についてです。
数列が+∞、-∞に発散するときのほかに、数列が振動する場合も考えなくてはならないと思うのですが、振動するということをどのように表現すればいいのかわかりません。
どなたかアドバイスをお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

数列{a_n}が収束するとは
∃x{∀ε>0→∃n_0(∀n>n_0→|a_n-x|<ε)}
だから
数列{a_n}が収束しないとはこれの否定
∀x→∃ε>0(∀n→∃n_1>n,|a_{n_1}-x|≧ε)
を示せばよい
例)
a_n=(-1)^n
のとき
∀xに対して
∃1(=ε)
(
∀nに対して
→
x≧0のとき
∃n_1=2n+1>nとすると
a_{n_1}=a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1
|a_{n_1}-x|=|-1-x|=1+x≧1
x<0のとき
∃n_1=2n>nとすると
a_{n_1}=a_{2n}=(-1)^{2n}=1
|a_{n_1}-x|=|1-x|=1-x>1
)
∴(-1)^nは収束しない

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

表現しなければいけないのは
「収束しない」ということです．

あえていうのでれば
「振動する」ってのは
「収束しない」かつ「∞に発散しない」かつ「-∞に発散しない」です．

εδで「収束する」「収束しない」を明確に表現できれば普通はとけます.
もっとも問題が隠匿されているので実際のところは不明ですが．

お礼

ご回答ありがとうございました。