数Σ級na_nが収束するならΣa_nは収束することを示す。

質問

級数Σ級na_nが収束するならΣa_nは収束することを示す問題で、行き詰っています！
以下は、私が考えた証明です。

Σna_nが収束するならば、lim(na_n)=0
⇔∀ε＞０に対して、適当な番号Ｎがあって、ｎ≧Ｎ⇒｜na_n｜＜ε
｜na_n｜=n｜a_n｜より、
ｎ≧Ｎ⇒｜a_n｜＜ε/n
∴lim(a_n)=0

・・というところまで考えました。
その後、どうすればΣa_nも収束すると言えるのかがわかりません。
どなたか、お力を貸してください！
・・というか、この証明自体、最初から間違っていたり、なんてことがあったりしますか？

回答よろしくお願いします。

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

Σa_nが正項級数でなければ
　｜(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m｜＜｜ma_(n+1)+・・・+ma_m｜
も一般には成り立ちませんが、
　｜(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m｜＜m｜a_(n+1)+・・・+a_m｜
からなぜ
　｜a_(n+1)+・・・+a_m｜＜｜(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m｜
と言えるのですか？
この問題はそれほど簡単ではないようです。Σk・a_k の第ｎ項までの部分和をs(n)として、Σ[k=n..m]a_k = Σ[k=n..m](1/k)k・a_k にAbelの変形を適用します。
　Σ[k=n..m]a_k =(-1/n)s(n-1) + Σ[k=n..m](1/k(k+1))s(k) +(1/(m+1))s(m)
s(n)の極限をｓとしたとき、恒等的に成り立つ関係式
　0 =(-1/n)s + Σ[k=n..m]((1/k)-1/(k+1))s +(1/(m+1))s
を上の式から引き算すると
　Σ[k=n..m]a_k
=(-1/n)(s(n-1)-s) + Σ[k=n..m](1/k(k+1))(s(k)-s) +(1/(m+1))(s(m)-s)
任意のε＞0 に対し適当な番号Ｎをとるとk≧Ｎ⇒｜s(k)-s｜＜εだからｍ＞ｎ≧Ｎのとき
　｜Σ[k=n..m]a_k｜
≦(1/n)｜s(n-1)-s｜ + Σ[k=n..m](1/k(k+1))｜s(k)-s｜ +(1/(m+1))｜s(m)-s｜
≦(1/n + Σ[k=n..m](1/k(k+1)) +1/(m+1) )ε
するとΣ[k=1..∞](1/k^2)は収束するから
　Σ[k=n..m](1/k(k+1)) ＜Σ[k=1..∞](1/k(k+1)) ＜Σ[k=1..∞](1/k^2)
より Σ[k=n..m](1/k(k+1))はある定数Ｋより小さい。
　｜Σ[k=n..m]a_k｜ ≦(1/n + Σ[k=n..m](1/k(k+1)) +1/(m+1) )ε
　< (2 + K)ε
したがってΣa_k は収束。

回答No.4

grothendieck

この問題は
　小松勇作「無理数と極限」(共立出版）p.162
の定理49.6もしくは定理49.7の応用と考えられます。なお解答には必要ありませんが、
　Σ[k=1..∞](1/k^2) = ζ(2) = π^2/6
です。

お礼

三度の回答、本当にありがとうございます。

全く簡単に考えていたので、Abelの変形を使っていたところは驚きました・・
複雑な証明でしたが、親切な回答で、おおよそ理解することはできました。

本当にありがとうございました。

回答No.2

grothendieck

＃１の方の方針でやれば容易なので自分で考えてください

お礼

回答ありがとうございます。
テスト期間中で、パソコンを封印していたため、返信が遅くなりました・・。

以下が私の考える証明です。

∀ε＞０をとる。
Σna_nが収束することから、
適当な番号Ｎをとって、ｍ＞ｎ≧Ｎ⇒｜(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m｜＜ｍε
｜(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m｜＜εについて、
｜(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m｜＜｜ma_(n+1)+・・・+ma_m｜
＝m｜a_(n+1)+・・・+a_m｜
よって、
｜a_(n+1)+・・・+a_m｜＜｜(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m｜＜ε
すなわち、
｜a_(n+1)+・・・+a_m｜＜ε
ゆえに、Σa_nは収束する。

・・いかがでしょうか？

補足

証明の3行目を間違えました。
適当な番号Ｎをとって、ｍ＞ｎ≧Ｎ⇒｜(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m｜＜ε
・・です。

回答No.1

rabbit_cat

＞この証明自体、最初から間違っていたり
論理自体は間違ってないですけど、その方針だと証明できそうにないですね。

＞Σna_nが収束するならば、lim(na_n)=0
ではなくて、
Σna_nが収束するならば、lim_{n,m→∞ (n<m)} na_n + (n+1)a_n+1 + … + ma_m= 0
（コーシー列）
ていうのからはじめるとよいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
テスト期間中で、パソコンを封印していたため、返信が遅くなりました・・。

以下が私の考える証明です。

∀ε＞０をとる。
Σna_nが収束することから、
適当な番号Ｎをとって、ｍ＞ｎ≧Ｎ⇒｜(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m｜＜ε
｜(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m｜＜εについて、
｜(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m｜＜｜ma_(n+1)+・・・+ma_m｜
＝m｜a_(n+1)+・・・+a_m｜
よって、
｜a_(n+1)+・・・+a_m｜＜｜(n+1)a_(n+1)+・・・+ma_m｜＜ε
すなわち、
｜a_(n+1)+・・・+a_m｜＜ε
ゆえに、Σa_nは収束する。

・・いかがでしょうか？