級数Σa_n が絶対収束すれば、・・・

質問

級数Σa_n が絶対収束すれば、級数Σ(a_n)^2は収束することを示したいです。（ｎは１から∞）

対偶を使って証明したらいいのかとも考えましたが、どうもうまくいきません；；

どなたか教えてください。

回答No.1

mazoo · ベストアンサー

Σa_nが収束するのであれば、あるNが存在して、n>Nならば|a_n|<1としてよいので、
n>Nの時|(a_n)^2|≦|a_n|^2<|a_n|

上の式を使えば、Σ(a_n)^2が絶対収束することが示せると思います。

お礼

早速の回答ありがとうございます。

＞Σa_nが収束するのであれば、あるNが存在して、n>Nならば|a_n|<1としてよいので

この部分がなぜそうしてよいのかわかりません。
できれば解説のほうおねがいします。
（頭の悪い質問者ですみません；；）

回答No.3

graphaffine

実数列が収束するための必要十分条件はコーシー列であることは知ってるとする。

級数Σa_nの絶対値級数の部分和数列をSn、級数Σa_nの部分和数列をVnとおく。

１　Snは仮定より収束する。従って、Snはコーシー列である。
２　Snがコーシー列ならば、Vnもコーシー列である。
３　従って、Vnは収束する。

本質的なのは第2項だけだが、そんなに難しくはない。

回答No.2

koko_u_u

＞＞Σa_nが収束するのであれば、あるNが存在して、n>Nならば|a_n|<1としてよいので
＞
＞この部分がなぜそうしてよいのかわかりません。

Σa_n が絶対収束すれば、lim |a_n| = 0 だからです。

問題が解けたら、絶対収束を単にΣa_n が収束するだけの条件に弱めた場合にどうなるか考察しましょう。