級数の収束に関する質問です。

質問

級数の収束に関する質問です。

∞
Σ 1/(log n)^n
n=2

が収束する事を、
1/(log n)^n≦1/2^n
を用いて証明する流れは理解しています。

解答には、
「n≧e^2+1となるすべてのnについて1/(log n)^n≦1/2^nがなりたつので・・・」
と書いてありますが、条件は
「n≧e^2」
で十分ではないでしょうか？

ヒントだけでも結構ですので、お助けください。
よろしくお願い致します。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

単なる書き間違えだと思います。

どちらにしろ証明として矛盾しているわけではないので、気にしない方がいいと思います。

「条件を緩くしてもＯＫ」な場合、いちいち厳しい条件に直す必要なありませんし。

お礼

ありがとうございます。
そうですよね。

自信が持てました。

回答No.3

Tacosan

それで十分です.
が, いずれにしても「有限個の n を除いて 1/(log n)^n≦1/2^n が成り立つ」ことさえ言えればいいので, e^2 だろうと e^2+1 だろうと e^300 だろうと, 論旨に影響はありません.

お礼

ありがとうございます。助かります。

回答No.2

info22_

nが整数なので
n≧e^2+1　は　n≧9
n≧e^2　は　n≧8
を意味します。
f(n)=1/2^n -1/(log(n))^n
は
n≦7で f(n)<0
n=8 で　f(n)>0,f'(n)>0でn=8付近でf(n)は単調増加
n≧9で f(n)>0,f'(n)<0でf(n)は単調減少
ということで
解答ではf(n)=1/2^n -1/(log(n))^n が単調減少だということを使いたかったのだと思います。

n=8を含めることでf(n)>0は言えてもf(n)が単調減少と言えなくなるのでそれはまずいということではないでしょうか？

お礼

ご指摘の内容を検討してみます。
ありがとうございます。