• 締切済み

べき級数

log(1-x)のべき級数展開を求めよ またこのべき級数の収束半径を求めよ という問題で、 ∞　　　　　　∞ Σａnx^nと　　Σｂnx^n　が共に(-R,R)で絶対収束すれば n=0　　　　　 n=0 ∞　　　　　　∞ ∞　 Σａnx^n　＋　Σｂnx^n　= Σ(ａn＋ｂn)x^n n=0　　　　　 n=0 n=0 であることはわかってるんですが、どうもその先が… なのでぜひお願いします。

みんなの回答

  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.1

Σ (a_n + b_n) x^n を、どこで使うのでしょう？ 基本どおりにやれば済みます。 単に、log(1 - x) を繰り返し微分すれば、 (d/dx)^n log(1 - x) = - (n-1) ! (1 - x)^(-n) だから、 マクローリン展開は、 log(1 - x) = log(1) + Σ[n=1→∞] { - (n-1) ! (1 - 0)^(-n) / n ! } x^n = Σ[n=1→∞] (-1/n) x^n。 lim[n→∞] { -1/(n+1) } / (-1/n) = 1 が収束するから、 ダランベールの判定法が使えて、収束半径は 1。 マクローリン展開 http://yosshy.sansu.org/maclaurin.htm ダランベールの判定法 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%8D%8A%E5%BE%84

kazqaz
質問者

お礼

ありがとです<(_ _)>

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