べき級数

質問

log(1-x)のべき級数展開を求めよ
またこのべき級数の収束半径を求めよ

という問題で、
∞　　　　　　∞
Σａnx^nと　　Σｂnx^n　が共に(-R,R)で絶対収束すれば
n=0　　　　　 n=0

∞　　　　　　∞ ∞　
Σａnx^n　＋　Σｂnx^n　= Σ(ａn＋ｂn)x^n
n=0　　　　　 n=0 n=0

であることはわかってるんですが、どうもその先が…

なのでぜひお願いします。

回答No.1

arrysthmia

Σ (a_n + b_n) x^n を、どこで使うのでしょう？
基本どおりにやれば済みます。

単に、log(1 - x) を繰り返し微分すれば、
(d/dx)^n log(1 - x) = - (n-1) ! (1 - x)^(-n) だから、
マクローリン展開は、
log(1 - x)
= log(1) + Σ[n=1→∞] { - (n-1) ! (1 - 0)^(-n) / n ! } x^n
= Σ[n=1→∞] (-1/n) x^n。

lim[n→∞] { -1/(n+1) } / (-1/n) = 1 が収束するから、
ダランベールの判定法が使えて、収束半径は 1。

マクローリン展開 http://yosshy.sansu.org/maclaurin.htm
ダランベールの判定法 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%8D%8A%E5%BE%84

お礼

ありがとです<(_ _)>