級数の収束・発散について

質問

次の問題について教えていただきたいです。

正の実数列{a_n}について Σa_n=∞ 成り立つとき

(1) 級数 Σa_n/(a_1+a_2+…+a_n) の収束・発散を判定せよ。

(2) 級数 Σa_n/(a_1+a_2+…+a_n)^2 の収束・発散を判定せよ。

以上です。級数は3つともすべてn=1~∞の和です。
(1),(2)ともに分数の分母は和,和の二乗です。
(1)は発散・(2)は収束と結果は予想が容易につくのですが証明がさっぱりです。
よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

正の実数列{a_n}について
Σ_{n=1～∞}a_n=∞
とする
(1)
自然数nに対して
S(n)=Σ_{k=1～n}(a_k/Σ_{j=1～k}a_j)
とする
{a_n}を
1群,a_1
2群,a_2,…,a_{m(2)}
3群,a_{m(2)+1},…,a_{m(3)}
…
n群,a_{m(n-1)+1},…,a_{m(n)}
…
b(n)=Σ_{j=m(n-1)+1～m(n)}a_j
b(n)≦b(n+1)
となるように群数列に分割する
m(1)=1
b(1)=a_1
とする
ある自然数nに対して自然数m(n)と
Σ_{k=1～n}b(k)=Σ_{j=1～m(n)}a_j
となる{b(k)}_{k=1～n}
が定義されているとき
Σ_{n=1～∞}a_n=∞だから
Σ_{j=1～m(n+1)}a_j≧b(n)+Σ_{j=1～m(n)}a_j
となる自然数m(n+1)と
b(n+1)=Σ_{j=m(n)+1～m(n+1)}a_j
が定義できるから
任意の自然数nに対して自然数m(n)と
b(n)=Σ_{j=m(n-1)+1～m(n)}a_j
Σ_{k=1～n}b(k)=Σ_{j=1～m(n)}a_j
となる{b(k)}_{k=1～n}
が定義できて
任意の自然数nに対して
b(n)≦b(n+1)
だから
自然数i,kに対して
i≦kならば→b(i)≦b(k)
だから
自然数kに対して
Σ_{i=1～k}b(i)≦kb(k)
Σ_{j=1～m(k)}a_j=Σ_{i=1～k}b(i)
だから
0<Σ_{j=1～m(k)}a_j≦kb(k)
だから
b(k)/Σ_{j=1～m(k)}a_j≧1/k
自然数jに対して
j≦m(k)ならば
→Σ_{i=1～j}a_i≦Σ_{i=1～m(k)}a_i
→1/Σ_{i=1～j}a_i≧1/Σ_{i=1～m(k)}a_i
→b(k)/Σ_{i=1～j}a_i≧b(k)/Σ_{i=1～m(k)}a_i≧1/k
↓b(k)=Σ_{j=m(k-1)+1～m(k)}(a_j)だから
Σ_{j=m(k-1)+1～m(k)}(a_j)/Σ_{i=1～j}a_i≧b(k)/Σ_{j=1～m(k)}a_j≧1/k
だから任意の自然数nに対して
Σ_{k=1～n}Σ_{j=m(k-1)+1～m(k)}(a_j)/Σ_{i=1～j}a_i=Σ_{j=1～m(n)}(a_j/Σ_{i=1～j}a_i)
だから
S(m(n))=Σ_{j=1～m(n)}(a_j/Σ_{i=1～j}a_i)≧Σ_{k=1～n}1/k>log(n+1)
だから
任意の正数L>0に対して
N>e^Lとなる自然数Nが存在して
m(N)≧N
n>m(N)となる任意の自然数nに対して
S(n)>Σ_{j=1～m(N)}(a_j/Σ_{i=1～j}a_i)≧Σ_{k=1～N}1/k>log(N+1)>L
だから
lim_{n→∞}S(n)=∞
∴
Σ_{n=1～∞}(a_n/Σ_{j=1～n}a_j)=∞