有界について

質問

以前
http://okwave.jp/qa/q6321989.html
のような質問をさせていただいたのですが、

上記の質問において

Σ[∞,n=1] (cos(nθ))/n が収束しないようなθ∈Rは
θ = 2kπ(k∈Z)(常にcos(nθ) = 1)と自力で分かったのですが、

これを示すため
p[n] = 1/n
a[n] = cos(nθ) とおくと

(あ) Σ[n,k=１] a[k] は有界
(い) p[1]≧p[2]≧…≧p[n]≧…≧0
を満たし、

(う)lim[n→∞] p[n] = 0
(え)Σ[∞,n=1] a[n] は収束
のいずれか(ここでは常に(う)が満たされる)を満たすため、

ディリクレの判定法より
Σ[∞,n=1] p[n]a[n] = Σ[∞,n=1] (cos(nθ))/n は収束する
となってしまうのですが、

θ = 2kπ(k∈Z)(常にcos(nθ) = 1)とすると
Σ[∞,n=1] 1/n となり、明らかに発散します。

とすると、(あ)または(い)が誤っていると推測されるのですが、
(い)は自明なので(あ)が誤っているという結論に達しました。

そこで前置きが長くなってしまいましたが、

Σ[n,k=１] cos(kθ) は
-1<cos(kθ)<1で有界で、
cos(kθ)=±1で有界でないのでしょうか？

それとも私の結論が誤っているのならご指摘お願いします。

回答No.3

noname#122450 · ベストアンサー

Σ[n,k=１]1　を有界としているのが誤り。nについて有界じゃないよ。

回答No.4

Tacosan

cos θ = -1 のとき, Σ[n,k=１] cos(kθ) は有界でしょうか, それとも非有界でしょうか?
あなたはなぜ「有界でない」と思ったのですか? 「No.1の方の考えならば」と丸投げするのではなく, きちんと示してください.
ひょっとして「cos θ = -1 のときすべての正整数 k に対し cos kθ = -1」と思ってませんか?

お礼

すみません、cos kθ = -1と思ってました。

cos θ = -1　のとき1と-1を繰り返しますもんね。
理解しました。ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

「cos(kθ)=±1」という条件は意味不明 (この k は和のインデックスだから).
k を無視して cos θ の条件で考えると cos θ = 1 なら非有界, その他のとき有界だと思う.

補足

cosθ=-1のときは有界なのでしょうか？

No.1の方の考えならば-∞に発散する→非有界と考えられるのですが…

回答No.1

tmpname

例えばθ=0の時、cos(kθ)は常に1ですが、Σ[n,k=１] 1はnを無限大に飛ばすと正の無限大に発散しますよね。