上極限と下極限の一致する場合

質問

inf{sup{ak|k≧n}|n∈ℕ}=sup{inf{ak|k≧n}|n∈ℕ}}=±∞の時、lim(n→∞)an=∞となることの証明をご教授頂きたいです。

収束する場合(zが有限値)は以下のように証明しています。
inf{sup{an|n≧k}|k∈ℕ}=sup{inf{an|n≧k}|k∈ℕ}}=zについて、上限の定義からz-ε<pとなるp∈{inf{an|n≧k}|k∈ℕ}}
があり、同時に下限の定義から
p<z+εとなるp∈{sup{an|n≧k}|k∈ℕ}
がある。すなわち、p=inf{an|n≧k}かつp=sup{an|n≧k}となるkがある。
また、
inf{an|n≧k}≦an≦sup{an|n≧k}なので
n≧kでz-ε<an<z+εとなり、|an-z|<εが得られる。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

pfarm · ベストアンサー

与えられた条件下で、
inf{sup{ak|k≧n}|n∈ℕ}=sup{inf{ak|k≧n}|n∈ℕ}}=±∞であるということは、列{ak}は上に発散し下にも発散することを意味します。この場合、列{ak}の極限は存在せず、正の無限大に発散するか、負の無限大に発散します。

ここで、仮定により、列{ak}は必ずしも単調である必要はありません。したがって、列{ak}を2つの部分列に分けることができます。すなわち、
{a_k1}, {a_k2}, {a_k3}, ... （正の無限大に発散する部分列）
{b_k1}, {b_k2}, {b_k3}, ... （負の無限大に発散する部分列）

これらの部分列それぞれについて、次のことが言えます。

{a_ki}と{b_ki}はそれぞれ単調非減少と単調非増加である。
{a_ki}は正の数に発散する。
{b_ki}は負の数に発散する。
したがって、以下の2つが成立します。

sup{a_k} = +∞
inf{b_k} = -∞
次に、{ak}の極限が存在する場合、その極限をLとします。このとき、

inf{sup{a_k|k≥n}} ≤ L ≤ sup{inf{a_k|k≥n}}
が成立します。
しかし、{ak}が発散する場合、この不等式は成立しなくなります。特に、L=+∞またはL=-∞の場合、上記の不等式は成立しません。

したがって、{ak}が発散する場合、lim(n→∞)an=∞となります。

私の答えが間違っていたらごめんなさい🙏

お礼

ご回答ありがとうございます！
丁寧で分かりやすいです
深く考え過ぎていたかもしれません
助かりましたm(_ _)m

回答No.2

noname#256179

sup_n (inf_{n≥k}a_k)=∞の場合だけ答えます。b_n=inf_{n≥k}a_kとおくとb_nは単調非減少（infの範囲が狭まることで減ることはない）なので、仮定のsup_n b_n=∞はb_n→∞を意味する。すべてのnに対しa_n≥b_nなのでa_n→∞となる。

お礼

回答ありがとうございます！
深く考え過ぎていたかもしれません…