上下極限の性質について教えてください。

質問

ものすごく基礎なのですが、
p<oのとき、
lim sup(pAn) (n -> ∞) = p(lim infAn) (n -> ∞）
lim inf(pAn) (n ->∞) = p(lim supAn) (n -> ∞)

をどのように証明すればいいのでしょうか？
考えてもどうすればいいのかわかりません。
教えてもらえないでしょうか？

回答No.4

noname#152422 · ベストアンサー

> 一応定義は、分かっているつもりです。

だったら、後は明らかだと思うんですが。

a(n)≦M⇒-M≦-a(n)

とか、

M-ε<a(n)⇒-a(n)<-M+ε

ということですよ。a(n)やMとかεの意味は説明しませんが、定義がわかっているならわかるはずです。

全部聞こうとしないで自分で手を動かして計算してみてください。

極限の一意性の使用についてもあきらかです。どう処理するかは前段の処理の仕方に依存します。紙とペンを使って計算してみてください。

もしまだ分からないようなら、εδ論法と位相が分かってないと思われますから復習してみてください。

お礼

本当にありがとうございました。
やってみます。

回答No.3

noname#152422

2番です。

例えば、

limsup[n→∞]A(n)=lim[k→∞]sup{A(k),A(k+1),A(k+2),…}

ということはわかった上で質問しているのでしょうか？

任意の数列(A(k))に対して、数列(sup{A(k),A(k+1),A(k+2),…})は実数全体に+∞と-∞を加えたもののなかで単調減少列なので必ず収束します。

もしliminfやlimsupの定義、あるいはsupやinfの定義を知らないなら、それは質問するべきことではなく、教科書で確認するべきです。

あとは

a≦b⇒-b≦-a

という関係と、極限の一意性から結果が得られます。

ちなみに、前回答で特に触れませんでしたが、

> lim sup
> lim inf

これらはそれぞれ間に空白を入れずに

limsup
liminf

と書くべきです。そうしないと意味が違ってしまうから。

お礼

遅くなり申し訳ございません。
本当にありがとうございます。
一応定義は、分かっているつもりです。
supの性質から単調減少というのは、分かります。

そのa<b => -b < -a をどのように使うか
また極限の一意性の意味がわからないのですが
教えてもらえませんか？

回答No.2

noname#152422

上極限と下極限を与える定義の中にある不等号が逆向きになるから。

＞1
一体何がしたいんだろう。

お礼

ありがとうございます。
できたらもっと詳しく教えてほしいです。

回答No.1

noname#224896

lim sup(pAn) (n -> ∞) ＝a
lim infAn) (n -> ∞）＝b
とおくと，
a=pb
b=pa

つまり，a=p(pa)
a=(p^2)a
{(p^2)-1}a=0

（１）a≠0のとき，
p=-1(∵P<0)
a=-b
b=-a
これは，同じ式なので，
個別にa，bをもとめることはできない．

（２）a=0のとき，
pb=0
（i）ｐ=0場合，
a=b=0且つp=0
(ii)b=0の場合，
　a=pb
　b=p^2*b
(p^2-1)*b=0

　この式は任意のpに対して成り立つ．
且つa=b=0
====================================================
lim inf(pAn) (n ->∞) = p(lim supAn) (n -> ∞)
とすると面倒なので，
lim sup(pAn) (n -> ∞) = p{lim p(supAn) (n -> ∞）}
lim inf(pAn) (n ->∞) = p(lim supAn) (n -> ∞)
====================================================
あとは，a，bを元に戻してください．