- 締切済み
解析学の基本事項の証明の仕方・・・
解析学の基本事項の証明の仕方・・・ 上限・下限の証明を、∀、∃を使って、どう表記すべきか？ 全てのsup , inf の記号の下に、 ｎ∈Nが付きます。 sup(a_n)＝{a₁,a₂,a₃・・・・a_n} 、 sup(b_n)={ｂ₁,b₂,b₃・・・・・,b_n} sup(a_n＋b_n)=sup(a₁＋b₁,a₂＋b₂＋・・・・・a_n+b_n} とするとき (1)a_n>0 ,b_n>0⇒ sup(a_n・b_n) <= sup(a_n)・sup(b_n) (2)a_n>0 ,b_n>0⇒ inf(a_n・b_n) >= inf(a_n)・inf(b_n) (3)sup(a_n - b_n) >= sup(a_n) - sup(b_n) (4)inf(a_n - b_n) <= inf(a_n) - inf(b_n) (5)inf(a_n + b_n) >= inf(a_n) + inf(b_n) 上記(1)～(5)の証明を、∀、∃を使ってどう表記すべきか？ 基本的な性質みたいなものなので、三角不等式の証明みたいな感じに なるような気はしますが、記号の使い方に慣れていないので手が出ません。 どのように記述したら証明した事になるのでしょう？
- syumi_suugaku
- お礼率0% (0/10)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- boiseweb
- ベストアンサー率52% (57/109)
そういうことを根本から理解するためには，まず，何より先に 「定義とは何か」 「証明とは何をすることか」 「定義に基づいて（定義に戻って）証明するとはどういうことか」 という，数学における論理的な議論の構築のしかた，というか「思想」を理解している必要があります． 「定義とは何か」「証明とは何か」ということへの認識が欠落したまま，記号の使い方だけを覚えても，得るものは何もありません． 逆に，それらの理解が完璧にできていれば，目の前の数学的問題についての具体的な証明を自力で構築することは難しくありません． まずは，↓この本を最初から最後まで読んで，数学における「定義」「証明」について認識を深めることをすすめます． 新井 紀子 (著)，数学は言葉—math stories，東京図書 定義に基づく証明を具体的に構築する方法については，↓この本も参考になるかもしれません． 嘉田 勝 (著)，論理と集合から始める数学の基礎，日本評論社
関連するQ&A
- 極限の基本定理の証明について
極限記号の積の分配の定理の証明についてです。 lim[n→∞](a_n)(b_n)=lima_n・limb_n 添付画像の４行目に|b-b_n|＜ε/(2(|a|+1)) となっておりますが、 なぜこのように置いたのかが分かりません。 私は|b-b_n|＜ε/(2|a|) でよいと思ったのですが、 何か理由があるのでしょうか？ とても有名な本(解析入門 杉浦著)なので、誤植や間違いだとは思えないので、質問しました。 よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 上極限と下極限の一致する場合
inf{sup{ak|k≧n}|n∈ℕ}=sup{inf{ak|k≧n}|n∈ℕ}}=±∞の時、lim(n→∞)an=∞となることの証明をご教授頂きたいです。 収束する場合(zが有限値)は以下のように証明しています。 inf{sup{an|n≧k}|k∈ℕ}=sup{inf{an|n≧k}|k∈ℕ}}=zについて、上限の定義からz-ε<pとなるp∈{inf{an|n≧k}|k∈ℕ}} があり、同時に下限の定義から p<z+εとなるp∈{sup{an|n≧k}|k∈ℕ} がある。すなわち、p=inf{an|n≧k}かつp=sup{an|n≧k}となるkがある。 また、 inf{an|n≧k}≦an≦sup{an|n≧k}なので n≧kでz-ε<an<z+εとなり、|an-z|<εが得られる。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学的帰納法の証明2
[問題] nは4以上の自然数とする。数学的帰納法によって、次の不等式を証明せよ。 2ⁿ＞n²－n＋2 この問題の証明の仕方がわかりません。 解法を回答してくださる方 お待ちしております。 ⁿはn乗 &#sup;は2乗のこと
- 締切済み
- 数学・算数
- Lim sup, Lim inf ？？？？確率論？？？？？？
確率論の本を読んでると、Lim sup, Lim inf という表記がでてきます。そして、これらが、Lim sup A(n) = ∩∪A(n) となり、 Lim inf A(n) = ∩∪A(n) となるとかかれてます。これはなぜなのでしょうか？しかも、なぜ、Lim sup と Lim inf が同じ表記になるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ノルムの基本証明について
朝早くから失礼いたします。 既に定理となっている ||A||1 ≡sup(x≠0) ( ||Ax||1 / ||x|| 1 ) = max(j) Σ(n、i=1) |a(ij)| 最大列和というらしいですが、 これ自体を証明しろという問題がでてしまい、どのように解くかわかりません。どなたか教えてください。お願いします。記号の使い方が汚くてすみません。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の証明問題なんですが…
|a+b|≦|a|+|b|（三角不等式）を繰り返し用いることによって、n個の数a1,a2,a3,…,anについての不等式 |a1+a2+…+an|≦|a1|+|a2|+…+|an| が成り立つことを示す という問題なのですが、証明問題が苦手でイマイチはっきりした答えが分からずに困っています。宜しければ解答を教えてください。 数学的帰納法も使って証明するらしいのですが…。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- sup?inf?よくわかりません・・・
質問なのですが、数列{An}の上限、下限を数列のなす集合{An}の上限、下限で定義しsup_nAn,inf_nAnとします。 このとき sup_n(An+Bn)≦sup_nAn+sup_nBn これが成立することはどのように証明すればいいのかさっぱり分かりません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
