絶対値を含む三角不等式の証明を教えてください。

質問

絶対値を含む不等式（三角不等式）の証明を教えてください。

次の不等式が成り立つことを証明せよ。
｜a｜－｜ｂ｜≦｜a＋ｂ｜≦｜a｜＋｜ｂ｜　

よろしくお願いします。

回答No.1

tksmsysh · ベストアンサー

a≧0かつb≧0のとき　|a+b|=a+b=|a|+|b|
a≧0かつb≦0のとき　|a+b|=|a|-|b|≦|a|+|b|
a≦0かつb≧0のとき　|a+b|=-|a|+|b|≦|a|+|b|
a≦0かつb≦0のとき　|a+b|=-|a|-|b|≦|a|+|b|
以上より、|a+b|≦|a|+|b| ……(1)

ここで(1)において、a→a+b、b→-bと置換すると、
|a+b-b|≦|a+b|+|-b|
⇔|a|-|b|≦|a+b| ……(2)

(1)(2)より示された。(証明終わり)

お礼

お礼が非常に遅くなってしまい申し訳ありませんでした。本当にありがとうございました。よく理解できました。

回答No.2

arrysthmia

よくある導出は、
ab≦｜ab｜ の両辺を
2 倍して
a~2+b~2 を足して
√ する
ですかね。

その後、
a=A+B
b=-B

お礼

お礼が非常に遅れてしまい申し訳ありませんでした。本当にありがとうございました。助かりました。