絶対値を含む不等式

質問

次の不等式を証明せよ。又、等号が成り立つ時を調べよ。
|a|＋|b|≧|a-b|

よく分からないので解き方を分かりやすく教えてください。

回答No.2

mister_moonlight

Ａ＝|a|＋|b|、Ｂ＝|a-b|とすると、題意からＡ≧Ｂを示すと良いが、Ａ≧0、Ｂ≧0　より、2乗して比較しても同値。
よって、Ａ＾2-Ｂ＾2＝2（｜ab｜＋ab）となるから
(1)　ab≧0の時、Ａ＾2-Ｂ＾2＝4ab≧0になり、等号はab＝0の時。
(2)　ab＜0の時、Ａ＾2-Ｂ＾2＝0になり、等号はab＜0の時。

以上から、等号は、ab≦0の時。

回答No.1

happy2bhardcore

|a|＋|b|＝|a-b|
|a|＋|b|＞|a-b|

に分けて考える。
絶対値は中身が負なら-をつけて外す、正ならそのままはずす。
例えば、|a|でa<0のとき|a| = -a、a≧0のとき|a| = a