高校の数学IIの不等式

質問

高校１年生です。この問題がよくわかりませんでした。わかりやすく、教えてください。このような証明問題が苦手なので、コツを教えていただけるとありがたいです。

a≧０,2a≧b²のとき、つぎの不等式をしょうめいせよ。また、等号が成り立つのは、どのようなときか。
(1)２√a≧b

(2)２√a≧b＋√2a-ｂ²

よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(1)
a≧0
2a≧b^2
の両辺を1/2乗すると
√(2a)≧|b|
2√a≧√(2a)≧|b|≧b
∴
2√a≧b

2√a=bのとき
2a≧4a=b^2
0≧2a≧0
a=0
b=0
a=b=0のとき2√a=bが成り立つ

(2)
(2√a-b)^2-(2a-b^2)
=2a-(4b√a)+2b^2
=2{a-(2b√a)+b^2}
=2{(√a)-b}^2
≧0
↓
(2√a-b)^2≧2a-b^2≧0
の両辺を1/2乗すると
|2√a-b|≧√(2a-b^2)
↓2√a≧bだから
2√a-b≧√(2a-b^2)
∴
2√a≧b+√(2a-b^2)

2√a=b+√(2a-b^2)のとき
2√a-b=√(2a-b^2)
(2√a-b)^2=2a-b^2
2{(√a)-b}^2=0
√a=b≧0
a=b^2
(a=b^2)&(b≧0)のとき2√a=b+√(2a-b^2)が成り立つ