三角関数を使った不等式の証明

質問

|a-b|<=|a|+|b|を三角不等式を使って証明しろという問題なのですが、どうやって証明すればいいのでしょうか？　証明できなくて困っています。　教えてください、お願いします。

回答No.3

noname#96418 · ベストアンサー

質問するのははじめてのようですね。

|a-b|=|a+(-b)|<=|a|+|-b|=|a|+|b|

補足

早速の回答ありがとうございます。
ごめんなさい、補足でつけるの忘れていましたが、
この証明は「∀a,b∈R」での証明なので
多分どうにかして式を変化させれば良いとは思うのですが、
|a-b|=|a-c+c-b|として
|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|
いまここで x=a-c, y=c-b とすると確かに三角不等式を使えるのですがこれでは、|a-b|≤|a|+|b|を証明したことにはならない・・・
というところでとまってしまいました。
この方法では証明できないのでしょうか？

回答No.6

noname#96418

＃４です。

>c=0と決めてしまっても問題はないのでしょうか？

c = 0 としないといけないのです。
つまり、はじめから c という文字を使う必要はないのです。

お礼

ご回答いただきありがとうございました。
大変参考になりました。
今後もまた質問するときがあるかもしれませんが、そのときはまたどうぞよろしくお願いします。

回答No.5

noname#75273

私が連想する基礎解析学の三角不等式は、
| |x| - |y| | ≦ | x ± y | ≦ | x | + | y |
です。

本題の | a - b | ≦ | a | + | b | の証明ですが。
| a - b | ≧ 0 , | a | + | b | ≧ 0 より、
( | a | + | b | )^2 - ( | a - b | )^2 を計算して、0 以上になれば自明です。

補足

質問にも書いてありますが、三角不等式を使った証明を探しています。
なので、少し私が求めているのとは違う証明のようです。

回答No.4

noname#96418

あなたの方法では　c = 0　とすればよいのですが、
結局、＃３と同じになります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
c=0と決めてしまっても問題はないのでしょうか？
決めてしまうことによって、c=0の時しか成り立たなくなるのではないか？　ある特定の場合しか成り立たないため証明が不完全になるような気がするのは思い過ごしでしょうか？

回答No.2

koko_u_

>三角不等式というのは
>|a+b|<=|a|+|b|
>という不等式です
>よろしくお願いします。

うむ。お願いするようなコトは何もない。

補足

私の質問に対する回答になっていないのですが？　
どういうことなのでしょうか？
書き忘れでしょうか？

回答No.1

koko_u_

じゃあ、三角不等式とやらを補足にどうぞ。

補足

三角不等式というのは
|a+b|<=|a|+|b|
という不等式です
よろしくお願いします。