数学の証明問題なんですが…

質問

|a+b|≦|a|+|b|（三角不等式）を繰り返し用いることによって、n個の数a1,a2,a3,…,anについての不等式
　|a1+a2+…+an|≦|a1|+|a2|+…+|an|　が成り立つことを示す　

という問題なのですが、証明問題が苦手でイマイチはっきりした答えが分からずに困っています。宜しければ解答を教えてください。
　数学的帰納法も使って証明するらしいのですが…。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

|a+b|≦|a|+|b|より|a1+a2|≦|a1|+|a2|
|a1+a2+a3+・・・・・+a(n-1)|≦|a1|+|a2|+|a3|+・・・+|a(n-1)|
が成り立つとき、両辺に|an|を加えると
|a1+a2+a3+・・・・・+a(n-1)|+|an|≦|a1|+|a2|+|a3|+・・・+|a(n-1)|+|an|
a1+a2+a3+・・・・・+a(n-1)=Aと置くと
左辺は|A|+|an|となり、|A+an|≦|A|+|an|より
|A+an|≦|A|+|an|≦|a1|+|a2|+|a3|+・・・・・+|a(n-1)|+|an|
Aを戻して
|a1+a2+a3+・・・・・+a(n-1)+an|≦|a1|+|a2|+|a3|+・・・・・+|a(n-1)|+|an|
この不等式はn=2で成り立ち、かつ(n-1)で成り立つときはnでも
成り立つので、2≦nの全てのnで成り立つ。

お礼

回答ありがとうございました。
自分の回答とも照らし合わせながら、何とか理解につなげることができました。

回答No.1

alice_44

b = ｜a1+a2+…+an｜ を ｜a+b｜ ≦ ｜a｜+｜b｜ へ代入することで、
｜a1+a2+…+a(n+1)｜ ≦ ｜a1｜+｜a2｜+…+｜a(n+1)｜ が示される。
数学的帰納法のテンプレートについては、教科書を参照のこと。

お礼

回答ありがとうございます。
とりあえず、教科書の帰納法の所を再度押さえようと思います。