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数学の問題  私の答え 合ってますか?

数列(an )初項a1 から第 n項までの和をSnとあらわす。 この数列が、 (n+2 )an=3Sn を満たす。 数列 anの初項a1が整数である時、Snは、整数であることを示せ。 この問題で、 (n+2 )a(n)=3S(n) (n+1 )a(n-1)=3S(n-1) n≧2 からanを求めて、 (n+2)an =3Sn (n+1)an-1=3Sn-1(n≧2) これから a(n)-a(n-1)=3a(n) a(n)=-1/2a(n-1) 以下 数学的帰納法を用いて n=2 a(2)=-1/2a(1) 整数 n=k a(k) =-1/2a(k-1) コレを整数と仮定すると n=k+1 a(k+1)=-1/2a(k) a(k)が整数なので、a(k+1)も整数 数学的帰納法により すべての自然数で、a(n)は、整数。 よって、 Sn=Σak=a1(1-(ー1/2)^n )/1-(-1/2) コレで、Snも整数であることが示せた これは、正解でしょうか??? お願いします。

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こんばんわ。 途中で少しイージーなミスをしてしまっていますね。>_< >(n+2)an =3Sn >(n+1)an-1=3Sn-1(n≧2) >これから >a(n)-a(n-1)=3a(n) nを n-1とずらしてから両辺差し引くことで漸化式を求める。 この考え方はいいのですが、引き算が間違っています。 左辺の nは消えませんよ。 おおまかな手順としては、素直に a(n)を求めてから S(n)を計算します。 S(n)は a(1)を含む形で記すことができるので、 あとは整数の性質をもちいてそれが整数となることを示します。 落ち着いて、計算してみてくださいね。^^

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質問者からのお礼

ありがとうございます

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  • 回答No.4

皆さんのおっしゃる通り、a(n)を求める途中でミスをしているのですが、他にも、 > n=k+1 a(k+1)=-1/2a(k) > a(k)が整数なので、a(k+1)も整数 これは、a[k]が整数なら、それを2で割った数も必ず整数になるということですか? 明らかにおかしいですよね。 この辺りでも、解答の間違いに気づいてもよさそうなものですが。 この問題の解き方としては、質問者さんがされたように、a[n]を求めてから それをもとにS[n]を考えるという方針でもいいですし、他の方法としては、  (n+2)a[n]=3S[n]  S[n]=S[n-1]+a[n] という2式からa[n]を消去して、直接S[n]の漸化式を作るという方法もあります。  (n+2)(S[n]-S[n-1])=3S[n]  ∴ (n-1)S[n]=(n+2)S[n] あとは、これを解けば一般項S[n]が得られます。  S[1]=a[1] だということを考慮すれば、S[n]はa[1]とnで表される式になるので、 そこからそれが必ず整数になることを示せばよいでしょう。 後は、苦言を少々。 アカウントを見る限り、初めてで慣れていらっしゃらないのだとは思いますが、 同じ問題でいくつもスレッドを立てるのはマナー違反ですよ。 最低でも、前のスレッドを締め切ってからにすべきです。 特に、先の質問に回答をつけている人がいるのに、それに返答すらせずに 完全無視して新たに質問し直すというのは、言語道断というべき行為です。 回答者は、質問を入力すれば答を返す、あなたのためにある機械ではなく、 善意の人間だってこと分かってますか? そういうことをされてどういう気持ちになるか、想像すらできませんか? とりあえず、あなたが乱立させた重複スレッドに対しては、誠意ある対応を してくださいね。

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質問者からのお礼

すいません。 気をつけます。

  • 回答No.2

>(n+2 )a(n)=3S(n) >(n+1 )a(n-1)=3S(n-1) n≧2 これはいいのだが、この後がいけない。 この式を両辺それぞれを引くと (n+2)a(n)-(n+1)a(n-1)=3a(n) (☆) にしかなりません。a(n)とa(n-1)の係数の引き算をしてはいけません。別の数字なのですから。 ですから後の議論は全て間違いです。 (☆)を変形すると (n-1)a(n)=(n+1)a(n-1) a(n)={(n+1)/(n-1)}*a(n-1) となります。 この後は数学的帰納法を用いるなり、a(n-1)にこの式全体にnの代わりにn-1を代入したものを代入したりしてみればよいでしょう。

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質問者からのお礼

ありがとうございます じっくり、考えてみます。

  • 回答No.1
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

不正解 (n+2)an =3Sn (n+1)an-1=3Sn-1(n≧2) から出てくるのは、 a(n)-a(n-1)=3a(n) ではなくて、 (n+2)a(n)-(n+1)a(n-1)=3a(n) だよ。

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質問者からのお礼

ありがとうございます

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