数学の問題 私の答え 合ってますか？
- 数列の和を求める問題について、答えが正しいかどうか確認してください。
- 数列の和が与えられる数学の問題に対して、答えが整数であることを示す方法について説明します。
- 数学的帰納法を用いて、数列の和が整数であることを証明する手順について解説します。
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数学の問題 私の答え 合ってますか？
数列（an ）初項a1 から第 ｎ項までの和をSnとあらわす。 この数列が、 （ｎ＋２ ）ａｎ＝３Sn を満たす。 数列 ａｎの初項ａ１が整数である時、Snは、整数であることを示せ。 この問題で、 （ｎ＋２ ）ａ(ｎ)＝３S(n) （ｎ＋１ ）ａ(ｎ-1)＝３S(ｎ-1) n≧２ からａｎを求めて、 (n＋２)ａｎ =3Sn (n+1)ａｎ-1=3Sn-1(ｎ≧２） これから a(n)-a(n-1)=3a(n) a(n)=-1/2a(n-1) 以下 数学的帰納法を用いて n=2 a(2)=-1/2a(1) 整数 n=k a(k) =-1/2a(k-1) コレを整数と仮定すると n=k+1 a(k+1)=-1/2a(k) a(k)が整数なので、a(k+1)も整数 数学的帰納法により すべての自然数で、ａ(ｎ)は、整数。 よって、 Sn＝Σａｋ＝ａ１（１－（ー１/２）＾ｎ ）/１－（－１/２） コレで、Snも整数であることが示せた これは、正解でしょうか？？？ お願いします。
- ifuku0228
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こんばんわ。 途中で少しイージーなミスをしてしまっていますね。>_< ＞(n＋２)ａｎ =3Sn ＞(n+1)ａｎ-1=3Sn-1(ｎ≧２） ＞これから ＞a(n)-a(n-1)=3a(n) nを n-1とずらしてから両辺差し引くことで漸化式を求める。 この考え方はいいのですが、引き算が間違っています。 左辺の nは消えませんよ。 おおまかな手順としては、素直に a(n)を求めてから S(n)を計算します。 S(n)は a(1)を含む形で記すことができるので、 あとは整数の性質をもちいてそれが整数となることを示します。 落ち着いて、計算してみてくださいね。＾＾
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- momordica
- ベストアンサー率52% (135/259)
皆さんのおっしゃる通り、a(n)を求める途中でミスをしているのですが、他にも、 > n=k+1 a(k+1)=-1/2a(k) > a(k)が整数なので、a(k+1)も整数 これは、a[k]が整数なら、それを２で割った数も必ず整数になるということですか？ 明らかにおかしいですよね。 この辺りでも、解答の間違いに気づいてもよさそうなものですが。 この問題の解き方としては、質問者さんがされたように、a[n]を求めてから それをもとにS[n]を考えるという方針でもいいですし、他の方法としては、 (n+2)a[n]=3S[n] S[n]=S[n-1]+a[n] という２式からa[n]を消去して、直接S[n]の漸化式を作るという方法もあります。 (n+2)(S[n]-S[n-1])=3S[n] ∴ (n-1)S[n]=(n+2)S[n] あとは、これを解けば一般項S[n]が得られます。 S[1]=a[1] だということを考慮すれば、S[n]はa[1]とnで表される式になるので、 そこからそれが必ず整数になることを示せばよいでしょう。 後は、苦言を少々。 アカウントを見る限り、初めてで慣れていらっしゃらないのだとは思いますが、 同じ問題でいくつもスレッドを立てるのはマナー違反ですよ。 最低でも、前のスレッドを締め切ってからにすべきです。 特に、先の質問に回答をつけている人がいるのに、それに返答すらせずに 完全無視して新たに質問し直すというのは、言語道断というべき行為です。 回答者は、質問を入力すれば答を返す、あなたのためにある機械ではなく、 善意の人間だってこと分かってますか？ そういうことをされてどういう気持ちになるか、想像すらできませんか？ とりあえず、あなたが乱立させた重複スレッドに対しては、誠意ある対応を してくださいね。
お礼
すいません。 気をつけます。
- rnakamra
- ベストアンサー率59% (761/1282)
>（ｎ＋２ ）ａ(ｎ)＝３S(n) >（ｎ＋１ ）ａ(ｎ-1)＝３S(ｎ-1) n≧２ これはいいのだが、この後がいけない。 この式を両辺それぞれを引くと (n+2)a(n)-(n+1)a(n-1)=3a(n) (☆) にしかなりません。a(n)とa(n-1)の係数の引き算をしてはいけません。別の数字なのですから。 ですから後の議論は全て間違いです。 (☆)を変形すると (n-1)a(n)=(n+1)a(n-1) a(n)={(n+1)/(n-1)}*a(n-1) となります。 この後は数学的帰納法を用いるなり、a(n-1)にこの式全体にnの代わりにn-1を代入したものを代入したりしてみればよいでしょう。
お礼
ありがとうございます じっくり、考えてみます。
- nag0720
- ベストアンサー率58% (1093/1860)
不正解 (n＋２)ａｎ =3Sn (n+1)ａｎ-1=3Sn-1(ｎ≧２） から出てくるのは、 a(n)-a(n-1)=3a(n) ではなくて、 (n+2)a(n)-(n+1)a(n-1)=3a(n) だよ。
お礼
ありがとうございます
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