数学の問題 私の答え 合ってますか？

質問

数列（an ）初項a1 から第 ｎ項までの和をSnとあらわす。
この数列が、

（ｎ＋２ ）ａｎ＝３Sn
を満たす。
数列 ａｎの初項ａ１が整数である時、Snは、整数であることを示せ。

この問題で、

（ｎ＋２ ）ａ(ｎ)＝３S(n)
（ｎ＋１ ）ａ(ｎ-1)＝３S(ｎ-1) n≧２

からａｎを求めて、

(n＋２)ａｎ =3Sn
(n+1)ａｎ-1=3Sn-1(ｎ≧２）
これから

a(n)-a(n-1)=3a(n)

a(n)=-1/2a(n-1)

以下

数学的帰納法を用いて

n=2 a(2)=-1/2a(1) 整数
n=k a(k) =-1/2a(k-1) コレを整数と仮定すると

n=k+1 a(k+1)=-1/2a(k)
a(k)が整数なので、a(k+1)も整数

数学的帰納法により
すべての自然数で、ａ(ｎ)は、整数。

よって、

Sn＝Σａｋ＝ａ１（１－（ー１/２）＾ｎ ）/１－（－１/２）

コレで、Snも整数であることが示せた

これは、正解でしょうか？？？

お願いします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
途中で少しイージーなミスをしてしまっていますね。>_<

＞(n＋２)ａｎ =3Sn
＞(n+1)ａｎ-1=3Sn-1(ｎ≧２）
＞これから
＞a(n)-a(n-1)=3a(n)

nを n-1とずらしてから両辺差し引くことで漸化式を求める。
この考え方はいいのですが、引き算が間違っています。
左辺の nは消えませんよ。

おおまかな手順としては、素直に a(n)を求めてから S(n)を計算します。
S(n)は a(1)を含む形で記すことができるので、
あとは整数の性質をもちいてそれが整数となることを示します。

落ち着いて、計算してみてくださいね。＾＾

お礼

ありがとうございます

回答No.4

momordica

皆さんのおっしゃる通り、a(n)を求める途中でミスをしているのですが、他にも、

> n=k+1 a(k+1)=-1/2a(k)
> a(k)が整数なので、a(k+1)も整数

これは、a[k]が整数なら、それを２で割った数も必ず整数になるということですか？
明らかにおかしいですよね。
この辺りでも、解答の間違いに気づいてもよさそうなものですが。

この問題の解き方としては、質問者さんがされたように、a[n]を求めてから
それをもとにS[n]を考えるという方針でもいいですし、他の方法としては、
　(n+2)a[n]=3S[n]
　S[n]=S[n-1]+a[n]
という２式からa[n]を消去して、直接S[n]の漸化式を作るという方法もあります。
　(n+2)(S[n]-S[n-1])=3S[n]
　∴　(n-1)S[n]=(n+2)S[n]
あとは、これを解けば一般項S[n]が得られます。
　S[1]=a[1]
だということを考慮すれば、S[n]はa[1]とnで表される式になるので、
そこからそれが必ず整数になることを示せばよいでしょう。

後は、苦言を少々。

アカウントを見る限り、初めてで慣れていらっしゃらないのだとは思いますが、
同じ問題でいくつもスレッドを立てるのはマナー違反ですよ。
最低でも、前のスレッドを締め切ってからにすべきです。
特に、先の質問に回答をつけている人がいるのに、それに返答すらせずに
完全無視して新たに質問し直すというのは、言語道断というべき行為です。
回答者は、質問を入力すれば答を返す、あなたのためにある機械ではなく、
善意の人間だってこと分かってますか？
そういうことをされてどういう気持ちになるか、想像すらできませんか？

とりあえず、あなたが乱立させた重複スレッドに対しては、誠意ある対応を
してくださいね。

お礼

すいません。
気をつけます。

回答No.2

rnakamra

>（ｎ＋２ ）ａ(ｎ)＝３S(n)
>（ｎ＋１ ）ａ(ｎ-1)＝３S(ｎ-1) n≧２

これはいいのだが、この後がいけない。
この式を両辺それぞれを引くと

(n+2)a(n)-(n+1)a(n-1)=3a(n)　(☆)

にしかなりません。a(n)とa(n-1)の係数の引き算をしてはいけません。別の数字なのですから。
ですから後の議論は全て間違いです。

(☆)を変形すると
(n-1)a(n)=(n+1)a(n-1)
a(n)={(n+1)/(n-1)}*a(n-1)
となります。
この後は数学的帰納法を用いるなり、a(n-1)にこの式全体にnの代わりにn-1を代入したものを代入したりしてみればよいでしょう。

お礼

ありがとうございます
じっくり、考えてみます。

回答No.1

nag0720

不正解

(n＋２)ａｎ =3Sn
(n+1)ａｎ-1=3Sn-1(ｎ≧２）
から出てくるのは、
a(n)-a(n-1)=3a(n)
ではなくて、
(n+2)a(n)-(n+1)a(n-1)=3a(n)
だよ。

お礼

ありがとうございます