数学B

質問

数学B

数列{an}の初項から第n項までの和Snが、Sn=3n^3+3n^2-2n のとき、anをnの式で表せ。また、
n
Tn=Σ (1/ak)をnの式で表せ。
k=1

という問題があるのですがよくわかりません。(どのように手をつけていいのか)どなたか教えてください。(途中式や解説など)よろしくお願いしますm(__)m

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

下付き添字がわかりにくいので括弧[ ]をつけて表すことにします。

a[n]は
a[n]=S[n]-S[n-1]
で求まります。
この式に
S[n]=3n^3+3n^2-2n
と
S[n-1]=3(n-1)^3+3(n-1)^2-2(n-1)
を代入して、式を整理して簡単にすれば良いでしょう。
a[n]=9n^2-3n-2
=(3n-2)(3n+1)

次に
T[n]=Σ[k=1,n] (1/a[k])
=Σ[k=1,n] 1/{(3k-2)(3k+1)}
=Σ[k=1,n] (1/3){1/(3k-2) -1/(3k+1)}
=(1/3)[1/1-1/4+1/4-1/7+ … +1/(3n-2)-1/(3n+1)]
=(1/3)[1-{1/(3n+1)}]
=(1/3)(3n)/(3n+1)
=n/(3n+1)

お礼

なるほどー！
とっても分かり易かったです‼
回答ありがとうございました。

回答No.2

spring135

S(n)=Σ(k=1,n)a(k)
S(n-1)=Σ(k=1,n-1)a(k)
ゆえに

S(n)-S(n-1)=a(n)=3n^3+3n^2-2n-(3(n-1)^3+3(n-1)^2-2(n-1))
=9n^2-3n-2

1/a(k)=1/(9k^2-3k-2)=1/(3k+1)(3k-2)=1/(3k+1)(3(k-1)+1)

-3/a(k)=1/(3k+1)-1/(3(k-1)+1) (1)

-3/a(k-1)=1/(3(k-1)+1)-1/(3(k-2)+1)　　(2)

....

-3/a(2)=1/(3*2+1)-1/(3*1+1)
-3a(1)=1/(3*1+1)-1/(3*0+1)　　　　　　　(k)

(1)+(2)+....（ｋ）より

-3Tk=-3Σ(k=1,k)(1/a(k))=1/(3k+1)-1=-3/(3k+1)

Tk=k/(3k+1)

よって

Tn=n/(3n+1)

お礼

回答ありがとうございました‼

回答No.1

asuncion

n ≧ 2のとき、
a[n] = S[n] - S[n-1]
= 3n^3 + 3n^2 - 2n - {3(n-1)^3 + 3(n-1)^2 - 2(n-1)}
= 3n^3 + 3n^2 - 2n - (3n^3 - 9n^2 + 9n - 3 + 3n^2 - 6n + 3 - 2n + 2)
= 3n^3 + 3n^2 - 2n - (3n^3 - 6n^2 + n + 2)
= 9n^2 - 3n - 2 …… (1)
n = 1のとき、
S[1] = a[1] = 4 …… (2)
(1)にn = 1を代入するとa[1] = 4となり、(2)と矛盾しない。
∴a[n] = 9n^2 - 3n - 2

とりあえずここまで。

お礼

回答ありがとうございました。