数列

質問

数列{ak}の初項から第n項までの和SnがSn=3n^2+4n+2(n=1,2,3,…)
と表されている。
(1)一般項akを求めよ.
(2)数列{(ak)^2}の初項から第n項までの和をnで表せ。

という問題で、

n=1のときa1=S1=9
n≧2のときan=Sn-S(n-1)で
=(3n^2+4n+2)-{3(n-1)^2+4(n-1)+2}
=6n+1
となったんですがn=1を代入したら7になり
成り立たなくなってしまいました、、
どうすればいいんでしょうか？
あと(2)もアドバイスくださったらうれしいです。

回答No.2

proto · ベストアンサー

(1)はおそらくそれで合っていると思いますよ。
n=1のとき
　　an = a1 = 9
n≧2のとき
　　an = 6n+1
と回答すれば良いんです。

では何故anにn=1を入れて成り立たないかというと、それはan=Sn-S(n-1)がn=1では成り立たないからです。
S(n-1)にを代入するとS0となりますね、しかしSnはn=1,2,3,...が前提ですからn=0のときは使えません。
ですから、
　　an = Sn-S(n-1)
で求めたanがn=1のとき成り立たなくても当然なんです。
逆にn=1を代入したものとa1が一致したとしてもそれは偶然です。
(または出題者が気を利かせてそうなるように問題を作ったとも言えます)
普通は一致しません。

またはこういう考え方もできます。
Snがもし3n^2+4nだったとしても3n^2+4n+3だったとしても3n^2+4n+100だったとしても、計算してみるとanは6n+1になるはずです。
anを求めるときにSnとS(n-1)を引き算していますから定数の項は消えてします。ですからSnの定数の項を変えてもanは変わりません。
しかしa1はそれぞれ別になります。
Sn=3n^2+4nならa1=7だし、
Sn=3n^2+4n+3ならa1=10だし、
Sn=3n^2+4n+100ならa1=107です。
このうちanにn=1を代入したものとa1が一致するのはSn=3n^2+4nのときだけですね。
このことからも一般にanにn=1を代入したものとa1は一致しないことがわかるでしょう。

(2)については、(1)の結果をふまえて
{(ak)^2}は
　　k=1のとき81
　　k≧2のとき(6k+1)^2 = 36k^2+12k+1
となる数列ですね。
これの第1項から第n項までの和を求めれば良いのです。

もう少し言うと
　　81 +Σ[k=2～n]{36k^2+12k+1} = 81 +Σ[k=1～n]{36k^2+12k+1} -49
を求めれば良いのです。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
公式に当てはめるだけで計算していたので
なぜそうなるのかを理解していませんでした、、
protoさんのおかげで理解できました!

回答No.4

jo-zen

n=1のときa1=S1=9
n≧2のときan=Sn-S(n-1)で
=(3n^2+4n+2)-{3(n-1)^2+4(n-1)+2}
=6n+1
それが答えですよ。つまり、
　　a1=9
　　an=6n+1 (n>=2)
が一般項となります。

それがわかれば、あとはひたすら計算すれば（２）の答えが出ますよね。

お礼

アドバイスありがとうございました！

回答No.3

R_Earl

> n=1のときa1=S1=9
> n≧2のときan=Sn-S(n-1)で
> =(3n^2+4n+2)-{3(n-1)^2+4(n-1)+2}
> =6n+1
> となったんですがn=1を代入したら7になり
> 成り立たなくなってしまいました、、
> どうすればいいんでしょうか？

an = 9 (n = 1の時)
an = 6n + 1　(n ≧ 2の時)

この2つを書いて正解です。
式1つでは一般項を表現できないものもあります。
特にn = 1の場合と、n ≧ 2の場合とで場合分けして
一般項を求める問題では、こういったことが起こりえます。

> あと(2)もアドバイスくださったらうれしいです。

k ≧ 2の時、
{ak}^2
= (6k + 1)^2
= (36k^2) + 12k + 1

k = 1の時、
{ak}^2
= 9^2
= 81

故に

{ak}^2 = 81 (k = 1)
{ak}^2 = (36k^2) + 12k + 1 (k ≧ 2)

あとはこの式を使って、Σ{ak}^2を求めればいいんです。
Σの公式に当てはめながら解いて下さい。

お礼

回答ありがとうございました。
無事に答えに行き着くことができました！

回答No.1

koko_u_

>どうすればいいんでしょうか？
どうもしなくてよい。

>あと(2)もアドバイスくださったらうれしいです。
ひたすら計算

お礼

回答ありがとうございました。