数学的帰納法

質問

帰納法の問題でどうしてもわからない問題があり質問させていただきます。

a1≧a2≧…≧an, b1≧b2≧…≧bnのとき、次の不等式を証明せよ。

(Σ[n]ai)(Σ[n]bi)≦n*Σ[n]aibi

かれこれ何時間か考えているんですが
どう変形しても答えにたどりつかず困っています。
どうかよろしくお願いします。

回答No.3

slimebess

ANo.2さんの解答の方が行間が少なくて、私より良い解答です。
ただ、ANo.2さんの下から3行目の第5項目の符号が
‘+’→‘-’
なのが、もったいないです。

回答No.2

PRFRD

(Σ[n] ai)(Σ[n] bi)
= (Σ[n-1] ai + an)(Σ[n-1] bi + bn)
= (Σ[n-1] ai)(Σ[n-1] bi) + (an Σ[n-1] bi) + (bn Σ[n-1] ai) + an bn
≦ (n-1)Σ[n-1] ai bi + (an Σ[n-1] bi) + (bn Σ[n-1] ai) + an bn　(∵帰納法)
= n Σ[n] ai bi - Σ[n-1] ai bi + (an Σ[n-1] bi) + (bn Σ[n-1] ai) + (n-1) an bn
= n Σ[n] ai bi - Σ[n-1] (ai - an) (bi - bn) (∵因数分解)
≦ n Σ[n] ai bi (∵二項目は ai ≧ an, bi ≧ bn より負)

回答No.1

slimebess

あまりかっこいい解答とは言えないので、詳細を書くのは控えますが

とりあえず、頑張ったところ

(n+1)*Σ[n+1]aibi－(Σ[n+1]ai)(Σ[n+1]bi)
≧(1/n){Σ[n](b(n+1)-bi)}{Σ[n](a(n+1)-ai)}
≧0

がいえたので、‘この不等式が正しいこと’は言えます．