数学的帰納法

質問

数学的帰納法

以下の問題の解き方を教えてください

nを自然数とするとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ

2^n≧n^2-n＋2

鈍角三角形の3辺の長さが黄砂r(r＞0)の等差数列となっているとき、最小の辺の長さaの範囲を、rを用いてあらわせ。

数直線上に点A１（０）、Ａ２（１）をとる。n≧1に対し、線分AnAn＋1を4:1に外聞する点をAn＋2(an＋2)とするとき、

anをnの式であらわせ。
ただし、a1=0, a2=1

下の2題は数列の応用です。

よろしくおねがいします

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

一問目
　ｎ＝１のとき２＞＝１－１＋２　が成り立つ。
　ｎ＝ｋのとき２＾ｋ＞＝ｋ＾２ーｋ＋２　が成り立つとして、この不等式の両辺を二倍すると
　左辺＝２＾（ｋ＋１）
　右辺＝２ｋ＾２－２ｋ＋４・・・（１）

　一方、ｎ＝ｋ＋１のとき元の不等式は
　２＾（ｋ＋１）＞＝（ｋ＋１）＾２－（ｋ＋１）＋２・・・（２）
　なので、（１）＞＝（ｋ＋１）＾２－（ｋ＋１）＋２
　であることを証明できれば（２）が成り立つことを証明できる。
　そこで（１）と（ｋ＋１）＾２－（ｋ＋１）＋２の大小を調べるために両者の差をとると
　２ｋ＾２－２ｋ＋４ー（ｋ＋１）＾２＋（ｋ＋１）ー２＝２ｋ＾２－２ｋ＋４ーｋ＾２－２ｋ－１＋ｋ＋１ー２
　　　　　　　　＝ｋ＾２－３ｋ＋２
　　　　　　　　＝（ｋ－１）（ｋ－２）・・・（３）
　ｋ＝１、２のとき（３）の値はゼロであり、ｋ＞＝３のとき（３）＞０なので、（３）の値は全ての自然数ｋに対してゼロ以上となり、全ての自然数ｋに対して（２）が成り立つ。

二問目
　一番短い辺の長さをａとすると残る二辺の長さはａ＋ｒ、ａ＋２ｒと表される。また、この三角形の三つの内角のうち一番大きい物は長さａ＋２ｒの辺に対する内角である。この角の大きさをΘとする。この三角形に余弦定理を適用すると
（ａ＋２ｒ）＾２＝ａ＾２＋（ａ＋ｒ）＾２－２ａ（ａ＋ｒ）ｃｏｓΘ
ｃｏｓΘ＝（ー（ａ＋２ｒ）＾２＋ａ＾２＋（ａ＋ｒ）＾２）／（２ａ（ａ＋ｒ））
鋭角三角形であることから０＜ｃｏｓΘ＜１であり、よって
０＜（ー（ａ＋２ｒ）＾２＋ａ＾２＋（ａ＋ｒ）＾２）／（２ａ（ａ＋ｒ））＜１
よりｒのとるべき値の範囲が判ります。・・・（１）

一方、三角形の二辺の長さの和は残る一辺の長さより大きいことが求められるので
ａ＋２ｒ＜２ａ＋ｒ
ｒ＜ａ・・・（２）
（１）と（２）を両方満たす範囲が求める範囲ではないかと。

回答No.2

gohtraw

＃１です。二問目のａ＋２ｒ＜２ａ＋ｒ以下の部分は余計かも。余弦定理を使った時点で三角形が成立しているので。