数学的帰納法

質問

n∈Zでn>1のとき、nは素数の積で書けることを示せ。
Pf : nが素数の積として書けることを表す命題をP(n)とする。
根拠： 2は素数なので、P(2)は真である。
帰納的 : P(2), P(3), ..., P(k) が真であると仮定する。
P(k + 1)を考える。
ケース1：k + 1は素数⇒P(k+1)は真
ケース2 : k + 1が合成である。
すなわち、k + 1 = abここで、2≦a≦b＜k+1である。
帰納仮説により、aもbも素数の積として書ける。
⇒ P(k+1)は真である。
強MIにより、n∈Zかつn>1のとき、P(n)は真である。

-----------------------------------------------------
帰納的 : P(2), P(3), ..., P(k) が真であると仮定する。
ここの部分は2,3,5,7,11...nということですか？

なぜk+1が合成である時k+1=abなら2≦a≦b＜k+1が成り立つんですか？

回答No.2

f272 · ベストアンサー

> 帰納的 : P(2), P(3), ..., P(k) が真であると仮定する。
> ここの部分は2,3,5,7,11...nということですか？

数学的帰納法の仮定としては
任意の自然数 k をとったとき、k より真に小さなすべての自然数 m に対して P(m) が真であれば
というものです。数学的帰納法とは何かを考えてください。

> なぜk+1が合成である時k+1=abなら2≦a≦b＜k+1が成り立つんですか？

合成というのは合成数と言いたいのだろう。
さて、ここに書いてあることは、2≦a≦b＜k+1となるようなa、bを用いてk + 1 = abと表せる、ということです。
k+1=abならば2≦a≦b＜k+1が成り立つと言っているわけではありません。
k+1が合成数なら、1とその数自身以外の約数を持つのだから、その約数をa、bとすればよいですね。

回答No.1

asuncion

とりあえず一部分だけ。

＞ここの部分は2,3,5,7,11...nということですか？

そうではないです。

＞n∈Zでn>1のとき、nは素数の積で書けることを示せ。
＞Pf : nが素数の積として書けることを表す命題をP(n)とする。

とかいてあるので、
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
という、自然数の列です。素数だけを考えているのではありません。