証明の問題なのですが・・・

質問

Ａ1＝４、Ａｎ+1＝４Ａｎ－９／Ａｎ－２で定められている数列｛Ａｎ｝について次の問に答えよ。　
(1)Ａ2、Ａ3、Ａ4、Ａ5を求めよ。
(2)(1)の結果を用いて、Ａｎを推定し、この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

(1)は求めました。(2)の証明方法が分かりません。簡単な問題かもしれませんが、回答宜しくお願いします。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

おはようございます。
（１）は求まりましたか？まずやってみますね。
A1=4
A2=(4*A1-9)/(A1-2)=7/2
A3=(4*A2-9)/(A2-2)=10/3
A4=(4*A3-9)/(A3-2)=13/4
A5=(4*A4-9)/(A4-2)=16/5

なのでAnは分母がｎ、分子は初項４、交差３の等差数列になっていると予想します。
したがって
An=(3n+1)/n
と予想することができます。

（２）帰納法でAn=(3n+1)/nを証明する。
いま、Ak=(3k+1)/k・・・・・（あ）
が２以上の整数ｋについて成り立っているとすると
Ak+1=(4Ak-9)/(Ak-2)
={4(Ak-2)-1}/(Ak-2)
=4 - 1/(Ak-2)
この式において、Ak=(3k+1)/kを代入すると
Ak+1=4 - 1/{(3k+1)/k -2}
=4 - 1/{(k+1)/k}
=4 - k/(k+1)
={4k+4-k}/(k+1)
=(3k+4)/(k+1)
これは、（あ）の式がｋ＋１のときも成立することを示す。

ｋ＝１のとき、（あ）はA1=4となって、これはｋ＝１のときも（あ）
が成り立つことになるので
すべての自然数ｎについて
An=(3n+1)/n
が成立することが数学的帰納法によって証明されました。

補足

いつも丁寧な回答を有難うございます。。。。しかし、一箇所よく分からないところがあったので質問させて下さい。
どうして、{４(Ak－２)－１}/(Ak－２)＝４－１/(Ak－２)になるのでしょうか？（２）の５行目から６行目にかけての所です。私は{４(Ak－２)－１}/(Ak－２)に直接Ak＝(３k＋１)/kを代入してみたのですが、計算間違いだと思いますけど、答えが(４k＋３)/(ｋ＋１)になったのです。。。
おそらく、簡単なことをお尋ねしていることと思います。でも、分からないので、教えてください・・・

回答No.4

fushigichan

こんばん。
今日は今初めてパソコンを開けたので、お返事が遅くなってすみません。

＞どうして、{４(Ak－２)－１}/(Ak－２)＝４－１/(Ak－２)になるのでしょうか？

ちょっとややこしいので、Aｋ－２＝ｘとおいてみましょう。
{４(Ak－２)－１}/(Ak－２)＝｛４ｘ－１｝/ｘ
　　　　　　　　　　　　＝４ｘ/ｘ－１/ｘ
　　　　　　　　　　　　＝４　－１/ｘ
ここでｘをもとにもどしましょう。
　　　　　　　　　　　　＝４　－１/（Ak-2)
となりますね。

ti-zuさんのやり方でもOKですよ。
＞私は{４(Ak－２)－１}/(Ak－２)に直接Ak＝(３k＋１)/kを代入してみたのですが

{４(Ak－２)－１}/(Ak－２)＝{4*{(3k+1)/k-2}-1}/{(3k+1)/k -2}
={4(3k+1-2k)/k-1}/{(3k+1-2k)/k}
={(4k+4-k)/k}/{(k+1)/k}
=(3k+4)/(k+1)
となりますので、このやりかたでもｋ＋１のときに式が成り立つことがいえますので
証明できたことになります。
ちょっと計算がややこしいですが、きっとできると思います。
頑張ってください！！

お礼

なるほど！理解できました。明日がテストなもので切羽詰っています。丁寧な回答を頂けて本当に「助かったぁ」という思いでいっぱいです！回答有難うございました。

回答No.3

ROYFF

（残念ながら）fushigichanさんの回答が完璧、私が入り込む余地はなさそうです。

分子分母を約分等しない事がポイントのようですね。

回答No.1

ROYFF

問題の中、Ａｎ+1＝４Ａｎ－９／Ａｎ－２　のところで。

左辺は、Ａ(n+1), 但しn+1　は数列の番号　ですよね。

右辺の　”－”と”／”のかかり方が解らないので教えて下さい。

頭の体操に挑戦したいと思いますので。

補足

補足が遅れてすみません。“－”は４Ａｎから９を引いているという意味です。もう一方も、同様にＡnから２を引いているということになります。“／”An－２分の４An－９を表しています。補足になっているでしょうか？・・なんだか分かりにくいですね・・すみません。