漸化式と極限

質問

数列{Ａｎ}は０＜Ａ１＜３、Ａ〔ｎ＋１〕＝１＋√１＋Ａｎを満たすものとする。この時次のことを示せ。
(１)０＜Ａｎ＜３(ｎ＝１、２、３・・・)
(２)３－Ａｎ＜(１／３)＾ｎ－１(３－Ａ１)
(３)ｌｉｍＡｎ＝３　ｎ→＋∞

数学的帰納法を使って解くのでしょうか？どの問題でも良いです。どなたか解き方を教えて下さい。

回答No.2

shinchan_k · ベストアンサー

(2)
A(n+1)=1+√1+A(n)より、
3-A(n+1)=2-√1+A(n)
=(3-A(n))/(2+√A(n)+1)（有理化しました。)
ここで、0<A(n)<3より、
3<2+√A(n)+1<4
よって、1/4<1/(2+√A(n)+1)<1/3
3-A(n+1)<(3-A(n))/3
よって、
3-A(n)<(3-A(n-1))/3
3-A(n-1)<(3-A(n-2))/3より、3-A(n)<(3-A(n-2))/3^2
以下繰り返していくと
3-A(n)<(3-A(1))/3^(n-1)
となる。
(3)
(1)より0<3-A(n)
(2)とあわせて
0<3-A(n)<(3-A(1))/3^(n-1)
各辺のnを無限大にとばせば
はさみうちの原理より
3-A(n)→0
よってA(n)→3

です。以上。

お礼

お礼が遅くなってすみません。(２)の丁寧な解説に感動しました。これからも宜しければ、数学を教えて下さい。回答ありがとうございました。

回答No.1

shinchan_k

(2)は右辺の式が分かりにくいので、
(1)のみですが…
数学的帰納法で解きます。
0<A(1)<3は仮定より自明。
0<A(k)<3を仮定すると、
A(k+1)=1+√1+A(k)より、
1+√1+0<A(k+1)<1+√1+3
2<A(k+1)<3となるので0<A(k+1)<3は成り立つ。

補足

やはり(2)は分かりにくい表記ですよね。
右辺は(１／３)＾(ｎ－１)×(３－ｎ)です。