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漸化式と極限
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(2) A(n+1)=1+√1+A(n)より、 3-A(n+1)=2-√1+A(n) =(3-A(n))/(2+√A(n)+1)(有理化しました。) ここで、0<A(n)<3より、 3<2+√A(n)+1<4 よって、1/4<1/(2+√A(n)+1)<1/3 3-A(n+1)<(3-A(n))/3 よって、 3-A(n)<(3-A(n-1))/3 3-A(n-1)<(3-A(n-2))/3より、3-A(n)<(3-A(n-2))/3^2 以下繰り返していくと 3-A(n)<(3-A(1))/3^(n-1) となる。 (3) (1)より0<3-A(n) (2)とあわせて 0<3-A(n)<(3-A(1))/3^(n-1) 各辺のnを無限大にとばせば はさみうちの原理より 3-A(n)→0 よってA(n)→3 です。以上。
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- shinchan_k
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(2)は右辺の式が分かりにくいので、 (1)のみですが… 数学的帰納法で解きます。 0<A(1)<3は仮定より自明。 0<A(k)<3を仮定すると、 A(k+1)=1+√1+A(k)より、 1+√1+0<A(k+1)<1+√1+3 2<A(k+1)<3となるので0<A(k+1)<3は成り立つ。
補足
やはり(2)は分かりにくい表記ですよね。 右辺は(1/3)^(n-1)×(3-n)です。
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