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数列・漸化式

数列{an}を a1=(sinθ)^2 an+1=4an(1-an) (n=1,2,3,・・・)と定義する (ただしθは 0<θ<π/2 を満たす定数) このとき an={sin(2^n-1)θ}^2 はすぐ帰納法で示せるんですが nがどのような値をとってもanが一定になるようにθを定めたいのですが どのようにθの値を決めればいいのでしょうか?

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こんなものは必要条件として求め、それが十分条件でもある事を確かめると良い。 >an+1=4an(1-an) (n=1,2,3,・・・)と定義する 紛らわしいが、A(n+1)=4*A(n)*{1-A(n)}なんだろう解釈する。‥‥(1) 題意から、A(n+1)=A(n)=αとして(1)を解くと、0<θ<π/2であるからα>0より、α=3/4. つまり、A(1)=αでもあるから、(sinθ)^2=3/4. 0<θ<π/2からsinθ=√3/2であるから、θ=π/3. そして、これが十分条件でもある事を確認すると良い。 

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質問者からのお礼

一般項のほうにばかり目が行って漸化式をおろそかにしていました ありがとうございます

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  • 回答No.4

うっかりしてた。 A(n+1)=A(n)=αが成立するんだから、必要十分条件だね。 従って、 >こんなものは必要条件として求め、それが十分条件でもある事を確かめると良い。 は、間違い。

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質問者からのお礼

ついでなんでもうひとつ・・・めんどくさかったら結構です^^; θ = π/3 と推定して示す場合 α = {(2^n-1)/3}πとすると (sinα)^2 = 3/4 n=1のとき成立 n=1,2,3・・・,kのとき成り立つと仮定して n=k+1のとき (sin2α)^2 =(2sinαcosα)^2 2乗があるので =4(sinα)^2{1-(sinα)^2} =4*3/4*1/4 =3/4 となりn=k+1でも成立 と強化帰納法で示したんですが、この証明は正しいんでしょうか?

  • 回答No.2
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

> nがどのような値をとってもanが一定になるようにθを定めたいのですが > どのようにθの値を決めればいいのでしょうか? nがどんな値をとってもanが一定なら、とりあえずa1 = a2が成り立つはずです。 なので「どんなnでもanが一定になるθ」のを求めるのではなくて、 「a1とa2が同じ値になるθ」を求めてみると良いと思います。 a1 = { sin(θ) }^2 a2 = { sin(3θ) }^2 θは第1象限の角なので、3θは第1~3象限の角です。 (1) 3θが第1象限の角の場合、 sinθとsin3θはプラスなので、{ sin(θ) }^2 = { sin(3θ) }^2となるなら sin(θ) = sin(3θ)となるはずです。 sin(θ) = sin(3θ)が成り立つのはθ = 0°の時だけなので不適。 (2) 3θが第2象限の角の場合、 sinθとsin3θはプラスなので、{ sin(θ) }^2 = { sin(3θ) }^2となるなら sin(θ) = sin(3θ)となるはずです。 sin(θ) = sin(3θ)が成り立つのは、3θ = π - θの時です(sin(x) = sin(π - x)なので)。 これを解くとθ = π/4です。 (2) 3θが第3象限の角の場合、 sinθはプラスでsin3θはマイナスになるので、{ sin(θ) }^2 = { sin(3θ) }^2となるなら sin(θ) = -sin(3θ)となるはずです。 sin(θ) = -sin(3θ)となるのは、3θ = θ + πの時です。 これを解くとθ = π/2なので不適です。 (1) ~ (3)より、θ = π/4になりそうです。 あとは3 ≦ nを満たす全てのnで、θ = π/4ならan = {sin(2^n-1)θ}^2は一定になることを示せば終了です。

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質問者からのお礼

>「a1とa2が同じ値になるθ」を求めてみると良いと思います。 とりあえず目星をつけて具体的に書いてみる重要性を再認識しました 答えはθ = π/3 になりましたが突破口になりました ありがとうございます

  • 回答No.1
  • peeea
  • ベストアンサー率57% (31/54)

(sin(2^(n-1)θ))^2 = const とするためには、 2^(n-1)θ = 2mπ (m:整数) であれば良いです。 ここで、2^(n-1) = 1,2,4,8,16,32,・・・ を考えると分かりますよね。

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質問者からのお礼

すみません。いまいちなんだか分かりません^^; あと2^(n-1)>0 0<θ<π/2なので 2^(n-1)θ = mπ (m:自然数) ではないんでしょうか?

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