数列と極限

質問

関数f(x)=4x-x^2に対し、数列anをa1=c,an+1=√f(an)
(n=1,2,3...)で与える。ただし、0<c<2という問題で
１、0<an<2,an<an+1を示せ
２、2-an+1<(2-c/2)(2-an)をしめせ。
という問題で、1のほうは数学的帰納法でほとんど解けたのですが、２のほうがよくわかりません。教えてください

回答No.1

e_o_m

1の方が難しいと思いますが、数学的帰納法という高度なことをした後では、易しい問題も難しく考えすぎてよく分からなくなってしまうものですよね。

2は至ってシンプルな不等式の証明です。
右辺-左辺=・・・＞０が示せれば良いのですが、この途中で1の不等式を使います。

まずはこれをヒントにご自分で考えてみましょう。
それでも分からなかったら以下の解答をお読みください。

右辺-左辺=(2-c/2)(2-a[n])-(2-a[n+1])
＞1×(2-a[n])-(2-a[n+1])　　　（0<c<2）
＝a[n+1]-a[n]
＞０　　　（1でa[n]<a[n+1]を示していますね）

参考になりましたら幸いです。