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極限の問題
lim(n->∞)1+1/2+1/3+...+1/n -> ∞ （発散） の証明方法は調べて分かったのですが、 lim(n->∞)1/n(1+1/2+1/3+...+1/n) -> 0 の証明方法がわかりません。 1/nのほうが、1+1/2+1/3+...+1/nが発散するよりも速く0に収束する、というのはなんとなくわかるのですが、数学的な証明にはなっていないと思います。 初歩的なことだと思いますが、証明をお願いします。
- macross_love825
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任意のnに対して、あるk≧1が存在して2^(k-1)≦n<2^kとなります。 (1/n)(1+1/2+1/3+...+1/n) <(1/(2^(k-1)))(1+1/2+1/3+...+1/(2^k)) ←前半は分母を小さく、後半は項数を多く =(2^(1-k))(1-(1/2)^(k+1))/(1-(1/2)) =(2^(1-k))(2-2^(-k)) =(2^(2-k))-(2^(1-2k)) →1-1=0
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