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極限値の証明
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- kohta83
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まず、0への収束を証明するのだから、本問の場合、α=0 よって、証明すべき命題は、 任意の正数εに対して、ある番号Nがあってn>Nとなるすべての番号nに対し,|1/2^n| < ε とできる となります。nは自然数ですから(ですよね?)、絶対値記号は不要で、1/2^n < ε です。 (1)任意の正数εに対して、1/2^N ≦ εとなるNが存在する。 対数の計算をします。どんなεを持ってきても、不 等式を成立させることは可能だと示します。 (2)「1/2^N ≦ ε」⇒「1/2^(N+1)<ε」を証明します。 数学的帰納法と同じ発想です。これによって、N以 降のすべての自然数について不等式が成立するこ とが示されることになります。 (1)と(2)を合わせると、任意の正数εに対して、ある番号Nがあってn>Nとなるすべての番号nに対し, |1/2^n| < ε とできるので、α=0への収束が証明されます。
- ojisan7
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すみません。ミスをしてしまいました。 N=-log_[2]ε ではなく、 N≧-log_[2]ε となる自然数Nをとる。 と、訂正させて下さい。(アルキメデスの原理より、そのような自然数Nは存在します。)
- yumisamisiidesu
- ベストアンサー率25% (59/236)
2様のご回答は正しいと思いますが、実数論の問題でNを選ぶとしたら、実数論以前で定義される関数や定数を使うのが好ましいというかそうすべきのように思えたので、εδ法ではないですがradioテストを使うといいと思いました.アルキメデスの原理より lim(1/n)=0 はすぐに分ると思います.また∃N∈N,1/n<=(1/2)^nは、数学的帰納法で∀N∈N,1/n<=(1/2)^nを証明することで証明できます.数学的帰納法は実数論以前に証明される内容です
- ojisan7
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>どう証明すればいいのか分かりません。 「任意の正数εに対して、ある番号Nがあって」ということですから、そのようなNを具体的に求めなければなりません。N=-log_[2]ε (マイナス ログ 2底のε)とすれば収束の条件は満たされているはずです。では、 N=-log_[2]εはどのように導いたのかということですが、このことは秘密にしておきたいのですが、質問者のために特別に種明かしをしますと、「逆に導いた」ということになります。
|1/2^n-0|=1/2^n<εとなる自然数Nを選ぶ つまり、1/2^N<εとなる自然数Nを選ぶと n≧Nのnにたいし、1/2^n≦1/2^N<ε、よって lim[n→∞] 1/2^n = 0 つまり、εは定数なので、いつかはそれを下回る Nがあるということです。
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