合っているか不安です。

質問

収束に関する問題です。
数列｛ｎ＋１/２ｎ＋１｝が１/２に収束することを証明しなさい。

（証明）
lim n→∞（ｎ＋１/２ｎ＋１）＝lim n→∞（１/２＋１/４ｎ＋２）＝１/２

任意の正数εに対し、アルキメデスの定理より

　Ｎ＋１＞１/ε　つまり　１/Ｎ＋１＜ε　

をみたす自然数Ｎが存在する。
また、ｎ＞Ｎであるすべての番号ｎに対し、

　|（１/２＋１/４ｎ＋２）－１/２|＝１/ｎ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　　 ＜１/Ｎ＋１＜ε

すなわち

　|（１/２＋１/４ｎ＋２）－１/２|＜ε

これは、極限値の定理より、

　lim n→∞（１/２＋１/４ｎ＋２）＝１/２

である。よって、数列｛ｎ＋１/２ｎ＋１｝は上に有界
な単調増加。　
（証明終）

どこかまずい所があれば教えてください。お願いします！

回答No.3

endlessriver

アルキメデスの原理きわめて自明なことを言っているので改めて記述する必要はないのでは。このような問題でアルキメデスの原理をからめているのは見かけません。
悪いことではないと思いますが多分、先生の趣味の範疇と思うのですが。

アルキメデスの原理は色々書き方があるようなのですが「任意の２つの実数a>0,b>0にたいしてna>bとなる自然数が存在する」からa=1,b=1/εを考えれば大体よいのでは。

本題ですが「収束の定義」とはε法と思います。補足の記述をみると最後の記述に違和感を感じます。

（証明）
任意の正数εに対し、アルキメデスの定理より

　Ｎ＞１/ε　つまり　１／Ｎ＜ε

をみたす自然数Ｎが存在する。
また、ｎ＞Ｎをみたすすべての自然数ｎに対し、
|(ｎ＋１)/(２ｎ＋１)-1/2|
＝|１/２＋１/（４ｎ＋２）－１/２|
＝１/（4ｎ＋2）　＊＊＊前回ここがミスでしたm(_ _)m
＜1/Ｎ＜ε
ここで、1/(4n+2)<1/(4n)<1/n<1/Nを使った。
すなわち
|(ｎ＋１)/(２ｎ＋１)-1/2|＜ε
となり、定義より数列　(ｎ＋１)/(２ｎ＋１)
は１/２に収束する。

（証明終）

しかし、これも私の趣味か？

回答No.2

endlessriver

証明がてんこ盛り。三段重ねが無関係に並べてあるように見えます。
limによる証明。ε法による証明。下に有界な単調減少数列による証明。
設問はどれを指定または期待しているのでしょうか。

あと正確にするなら次のようになるでしょうか。
|（１/２＋１/（４ｎ＋２）－１/２|
＝１/（２（ｎ＋１））＜１/（ｎ＋１）
ε法は
|an-a|<εがいえたところで証明は終わりです。

補足

問題は「数列の収束の定義に戻って証明せよ」となっています。もう一度やり直したので見てください。

（証明）
任意の正数εに対し、アルキメデスの定理より

　２（Ｎ＋１）＞１/ε　つまり　１/２（Ｎ＋１）＜ε

をみたす自然数Ｎが存在する。
また、ｎ＞Ｎであるすべての番号ｎに対し、

　|（１/２＋１/４ｎ＋２）－１/２|＝１/２（ｎ＋１）
　　　　　　　　　　　　　　　　 ＜１/２（Ｎ＋１）＜ε

すなわち

　|（１/２＋１/４ｎ＋２）－１/２|＜ε

これは、極限値の定理より、

　lim n→∞（１/２＋１/４ｎ＋２）＝１/２

になる。

（証明終）

アルキメデスの定理の部分がよく分からないんですが。

回答No.1

PASERIS

まず
問題を転記するとき

収束に関する問題です。
数列
｛（ｎ＋１）/（２ｎ＋１）｝が．．．

と括弧つけて記載してよ！

勘違いするじゃん！
出題ミスかと思ったじゃん

補足

すみません...