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数列 極限 大学入試

x[1]=1,x[n+1]=1/(1+x[n]) (n=1,2,3,・・・・・)により数列{x[n]}を定める。 (1)すべての自然数nに対して1/2≦x[n]≦1が成り立つことを証明しなさい。 (2)すべての自然数nに対して│x[n+1]-x[n]│≦1/2*(4/9)^(n-1)が成り立つことを証明しなさい。 (3)極限値α=lim[n→∞]x[n]を求めなさい。(数列{x[n]}が収束することは証明しなくてよい。) (1)は数学的帰納法で証明できたんですが、(2)(3)がわかりません。どなたか解説をお願いします。

noname#190667
noname#190667

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みんなの回答

  • 回答No.5
noname#199771
noname#199771

>通分した後(x[n-1]-x[n])/(1+x[n])(1+x[n-1]で良いのでしょうか? それは#1を復唱しているだけですよ。 そうではなくて、その後どうしたのか自らの考えを述べてください。 正の数a,bと実数c,dに対して a>bならばa+1>b+1 a>bならば1/a<1/b |a|=a |cd|=|c||d| |1/c|=1/|c|(c≠0) という関係を使います。(>は≧でも同じ) (1)の結果を利用して「x[n]を1や1/2で置き換えられないか?」と 考えながら計算してみましょう。 #1が示したヒントは帰納法とセットで用いられます。 │x[n+1]-x[n]│≦(正の数)×│x[n]-x[n-1]│ の形にできたらあとは右辺の次数を落としていきます。 「すべての自然数に対してうんぬんかんぬん」という命題を証明 するにはどんな場合であれ(明示的であるかどうかにかかわらず) 帰納法と無関係であることはありません。

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  • 回答No.4
  • tekcycle
  • ベストアンサー率34% (1839/5289)

(3) ちゃうわ。 (2)をそのまま使えば良いのか。 おそらく前後の大小関係はきちんと証明しておくとして、普通に絶対値を外して、(2)と与式でドン。 たぶん。

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  • 回答No.3
  • tekcycle
  • ベストアンサー率34% (1839/5289)

良いのでしょうか?じゃなくて、そこから更に、自分で試行錯誤して下さい。 その試行「錯誤」の結果を書いてください。 東大の数学科に行くような人では無いんでしょうから、錯誤無くして解答は得られません。 青チャートに載っているような、標準的な問題では無いわけです。 だから、何とかの解法を暗記しました、では解けません。たぶん。 標準的であるのは、  それよりも少し大きいだろうという値よりは小さい としてみることでしょう。 それと、左辺 |x[n+1]-x[n]| に対して、そもそも何を比較したいのか。 ちなみに私はその解法を採りませんでした。 やっていることはほぼ同じですが、帰納法を使いました。 帰納法を使う方が、「気付きやすい」と思います。 普段はどういう勉強をしているのですか? 青チャート丸暗記? 標準レベルの問題集しか解いてない? 問題演習は十分? 基本的に、詳しい解答解説の無い問題で勉強しようとしてはいけません。 解けないのであれば、解けないということが自体がメッセージです。 (3)は、(2)を使って、  x[2]-x[1] +x[3]-x[2] +x[4]-x[3] +x[5]-x[4] ........ +x[n-1]-x[n-2] +x[n]-x[n-1] のようなことを考えるのかな、と。「お約束の手法」だとは思いますが。 見ようによっては、a[n]=x[n+1]-x[n]とした場合の、等比級数もどきの和か。 絶対値の外し方ですが、x[n]<x[n-1]の場合x[n+1]>x[n]、x[n]>x[n-1]の場合x[n+1]<x[n]、x[n]=x[n-1]の場合はどうなるか、などと、大小関係が毎度逆転することをまず証明するかな。 で、絶対値を外して計算する。 解いてないんでよくわかりませんし、受験生をやめてから相当経っているので、頭は呆けていますし、もっと良い解き方があるのかもしれませんが。

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  • 回答No.2
noname#199771
noname#199771

ヒントを得てあなたはどう考えたのでしょうか? それで「自分は・・・のようにやってみたが・・・がわから なかった」というような聞き方をしてください。 >もう少し詳しく と言われてもあなたがどこで躓いているのかわからない ので説明のしようがありません。 タイトルからするとあなたは受験生なのですよね? 模範解答をここに書いてもあなたの力はつきませんよ。 ヒントを参考に手を動かしてみてください。

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質問者からの補足

失礼致しました。 通分した後(x[n-1]-x[n])/(1+x[n])(1+x[n-1]で良いのでしょうか? もしこれで良いのならば、ここから(1)をどのように使うのですか?

  • 回答No.1
noname#199771
noname#199771

(2) |x[n+1]-x[n]|=|1/(1+x[n])}-{1/(1+x[n-1])| としてから通分します。 あとは(1)を使えば終了。 (3) 極限値があればどうなるはずか考えてみましょう。

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質問者からの補足

(2)がいまいちよくわかりません>< もう少し詳しく解説お願いできませんか?

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