数列 極限 大学入試

質問

x[1]=1,x[n+1]=1/(1+x[n]) (n=1,2,3,・・・・・)により数列{x[n]}を定める。

（１）すべての自然数ｎに対して1/2≦x[n]≦1が成り立つことを証明しなさい。

（２）すべての自然数ｎに対して│x[n+1]-x[n]│≦1/2*(4/9)^(n-1)が成り立つことを証明しなさい。

（３）極限値α＝lim[n→∞]x[n]を求めなさい。（数列{x[n]}が収束することは証明しなくてよい。）

（１）は数学的帰納法で証明できたんですが、（２）（３）がわかりません。どなたか解説をお願いします。

回答No.5

noname#199771

＞通分した後(x[n-1]-x[n])/(1+x[n])(1+x[n-1]で良いのでしょうか？

それは#1を復唱しているだけですよ。
そうではなくて、その後どうしたのか自らの考えを述べてください。

正の数a,bと実数c,dに対して
a>bならばa+1>b+1
a>bならば1/a<1/b
|a|=a
|cd|=|c||d|
|1/c|=1/|c|(c≠0)
という関係を使います。（>は≧でも同じ）
(1)の結果を利用して「x[n]を1や1/2で置き換えられないか？」と
考えながら計算してみましょう。

#1が示したヒントは帰納法とセットで用いられます。
│x[n+1]-x[n]│≦（正の数）×│x[n]-x[n-1]│
の形にできたらあとは右辺の次数を落としていきます。

「すべての自然数に対してうんぬんかんぬん」という命題を証明
するにはどんな場合であれ（明示的であるかどうかにかかわらず）
帰納法と無関係であることはありません。

回答No.4

tekcycle

(3)
ちゃうわ。
(2)をそのまま使えば良いのか。
おそらく前後の大小関係はきちんと証明しておくとして、普通に絶対値を外して、(2)と与式でドン。
たぶん。

回答No.3

tekcycle

良いのでしょうか？じゃなくて、そこから更に、自分で試行錯誤して下さい。
その試行「錯誤」の結果を書いてください。
東大の数学科に行くような人では無いんでしょうから、錯誤無くして解答は得られません。
青チャートに載っているような、標準的な問題では無いわけです。
だから、何とかの解法を暗記しました、では解けません。たぶん。
標準的であるのは、
　それよりも少し大きいだろうという値よりは小さい
としてみることでしょう。
それと、左辺　｜ｘ[n+1]－ｘ[n]｜　に対して、そもそも何を比較したいのか。

ちなみに私はその解法を採りませんでした。
やっていることはほぼ同じですが、帰納法を使いました。
帰納法を使う方が、「気付きやすい」と思います。

普段はどういう勉強をしているのですか？
青チャート丸暗記？
標準レベルの問題集しか解いてない？
問題演習は十分？

基本的に、詳しい解答解説の無い問題で勉強しようとしてはいけません。
解けないのであれば、解けないということが自体がメッセージです。

(3)は、(2)を使って、
　ｘ[2]－ｘ[1]
＋ｘ[3]－ｘ[2]
＋ｘ[4]－ｘ[3]
＋ｘ[5]－ｘ[4]
........
＋ｘ[n-1]－ｘ[n-2]
＋ｘ[n]－ｘ[n-1]
のようなことを考えるのかな、と。「お約束の手法」だとは思いますが。
見ようによっては、ａ[n]＝ｘ[n+1]－ｘ[n]とした場合の、等比級数もどきの和か。
絶対値の外し方ですが、ｘ[n]＜ｘ[n-1]の場合ｘ[n+1]＞ｘ[n]、ｘ[n]＞ｘ[n-1]の場合ｘ[n+1]＜ｘ[n]、ｘ[n]＝ｘ[n-1]の場合はどうなるか、などと、大小関係が毎度逆転することをまず証明するかな。
で、絶対値を外して計算する。
解いてないんでよくわかりませんし、受験生をやめてから相当経っているので、頭は呆けていますし、もっと良い解き方があるのかもしれませんが。

回答No.2

noname#199771

ヒントを得てあなたはどう考えたのでしょうか？

それで「自分は・・・のようにやってみたが・・・がわから
なかった」というような聞き方をしてください。

＞もう少し詳しく

と言われてもあなたがどこで躓いているのかわからない
ので説明のしようがありません。

タイトルからするとあなたは受験生なのですよね？
模範解答をここに書いてもあなたの力はつきませんよ。
ヒントを参考に手を動かしてみてください。

補足

失礼致しました。

通分した後(x[n-1]-x[n])/(1+x[n])(1+x[n-1]で良いのでしょうか？
もしこれで良いのならば、ここから（１）をどのように使うのですか？

回答No.1

noname#199771

(2) |x[n+1]-x[n]|=|1/(1+x[n])}-{1/(1+x[n-1])|
としてから通分します。
あとは(1)を使えば終了。

(3) 極限値があればどうなるはずか考えてみましょう。

補足

（２）がいまいちよくわかりません＞＜
もう少し詳しく解説お願いできませんか？