複素関数

質問

複素関数の問題を解いているのですが、わからないことがあります。

問）Σ[n=0→∞] c_n z^n の収束半径をＲとする。{c_n}が有界数列ならば、Ｒ≧1であることを示せ。

答）|c_n|≦Mと仮定する。|z|＜1ならば、Σ[n=0→∞] |z|^n ＜＋∞。…(1)
これと|c_n z^n|≦M|z|^nによって、Σ[n=0→∞] c_n z^n は|z|＜1で絶対収束する。
ゆえに R≧１。…(2)

疑問について、
・(1)のところの＋∞の使い方がいまいちわかりません。これは発散しない（＝収束する）という考え方でいいのでしょうか
・(2)「ゆえに」のところがわかりません。どこからR≧１がでてきたのか…

初歩的な質問かもしれませんが、詳しく教えていただけると幸いです。

回答No.2

noname#199771 · ベストアンサー

＞そのようなzについて収束してしまう→収束半径１
＞→仮定の「収束半径がR」に矛盾、という感じでしょうか

いいえ、「収束半径<1」とすると矛盾するから
その否定である「収束半径≧1」がいえると
いうことです。

もちろん収束半径の定義をみればこれは相当
クドイ説明ではありますが、あえて言えばそう
なるということです。

お礼

なるほど、収束半径についてもう一度確認してみます。

何度も答えていただきありがとうございました。

回答No.1

noname#199771

＞(1)発散しない（＝収束する）という考え方

はい、その通りです。

＞(2)どこからR≧１

|z|<1なる任意のzについて絶対収束する
からです。

もしR<1とするとR<|z|<1というzが存在して
しまい、そのようなzについて収束してしまう
のでR≧1が必要です。

補足

＞もしR<1とするとR<|z|<1というzが存在して
しまい、そのようなzについて収束してしまう
のでR≧1が必要です。

そのようなzについて収束してしまう→収束半径１→仮定の「収束半径がR」に矛盾、という感じでしょうか