σ集合体はボレル集合体の特別な集合体?

質問

ボレル集合体の定義は

「Xを集合とし,B∈2^Xとする。この時Bが
(i) B≠φ
(ii) A∈B⇒A^c∈B
(iii) A_k∈B(k∈N)⇒∪[k∈N]A_k∈B
を満たすならばBをX上のボレル集合体という」

σ集合体の定義は

「BがX上のボレル集合体とする。この時Bが
(i) X∈B
(ii) A∈B⇒A^c∈B
(iii) A_k∈B(k∈N)⇒∪[k∈N]A_k∈B
を満たすならばBをX上のσ集合体という」

と解釈したのですがこれで正しいでしょうか?

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

ANo.1の
> 開集合を全て含むσ集合体
は、「開集合から生成されるσ集合体」あるいは「開集合を全て含む最小のσ集合体」と読み替えてください。
開集合を全て含むだけだとより大きな集合(たとえば冪集合)でも良いことになってしまいます。
同様にR上でも「開区間を全て含む最小のσ集合体」と言い換えておきます。

回答No.1

rinkun

質問の定義ですと両者は同じものです。
実際、X∈Bが示せれば十分ですが、Bが空でないことからA∪A^c=Xが含まれることは明らかです。

一般的な用語としては上記定義はσ集合体で、ボレル集合体は位相空間で開集合を全て含むσ集合体です。
# R上では開区間を全て含むσ集合体をボレル集合体というが、もちろん同じものです

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F

お礼

有難うございます。

お陰様で納得できました。