可測空間上のf-可測集合全体Mはσ集合体をなす

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このQ&Aのポイント
  • [定義] 可測空間(A,B)上の外測度f:B→R∪{+∞}
  • [定義] (A,B)上のf-可測集合全体Mはσ集合体をなす
  • [命題] (A,B)を可測空間とする。 (A,B)上のf-可測集合全体Mはσ集合体をなす。
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「可測空間(A,B)上のf-可測集合全体Mはσ集合体をなす」の証明

下記の命題の(iii)がどうしても示せません。 [定義]f:B→R∪{+∞}を可測空間(A,B)上の外測度。 ⇔(def) (i) f(2^A)⊂[0,∞],特にf(φ)=0 (ii) C⊂D(C,D∈2^A)⇒f(C)≦f(D) (iii) f(∪[n=1..∞]C_n)≦Σ[n=1..∞]f(C_n) (C_n∈2^A (n∈N)) [定義]f:B→R∪{+∞}を可測空間(A,B)上の外測度とする。E(⊂A)は(A,B)上でf-可測(集合)。 ⇔(def) ∀C∈2^A,f(C)=f(C∩E)+f(C∩E^c) [命題] (A,B)を可測空間とする。(A,B)上のf-可測集合全体Mはσ集合体をなす。 [証] (i) E∈M⇒E^c∈Mは 今E∈Mなので∀C∈2^A,f(C)=f(C∩E)∪f(C∩E^c)が成立。 これはf(C)=f(C∩E^c)∪f(C∩(E^c)^c)とも書けるのでE^c∈M (ii) φ∈M ∀C∈2^A,f(C)=f(C∩A)=f(C∩(φ∪φ^c))=f((C∩φ)∪(C∩φ^c))と書ける。 従って,f-可測の定義よりφ∈M (iii) E_i∈M (i∈N)⇒∪[i∈N]E_i∈M E_i∈Mより∀C∈2^A,f(C)=f((C∩E_i)∪(C∩E_i^c))と書ける。 これからどうやって f(C)=f((C∩(∪[i∈N]E_i))+f(C∩(∪[i∈N]E_i)^c) が導けますでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

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回答No.3

F_1:=ＵE_i, F_2=F_3=…=φと取れば F_i (i∈N)は互いに素ですけど ＵF_i∈Mとなるかどうかは分かりませんよね。 この場合はF_1∈Mに入っているかわからないので意味がないと思います。定義は、各iに対してF_i∈Mが前提となっております。 論文P16の真ん中部分で、Mは補集合、有限加法性に閉じている。 後、各nに対して、F_n∈M（F_nは互いに素）ならば∪F_n ∈M(可算和集合)も成り立つことは分かったと思います。 後は、 (1)E_1=F_1,E_n=F_n∩(∪_{i=1 to n-1}E_i)^{c} (n>2)とおくと 、 各nに対して　E_n∈Mである。 なぜなら、 補集合と有限加法性から分かると思います。 そして、このようE_nをとると、 ∪F_i=∪E_i （可算和集合） が成立する。 よって,各nに対してF_n∈M　ならば∪F_n∈Mを示せば十分ということになります。 間違ってたらごめんなさい。久しぶりに考えたので。

hhozumi
質問者

お礼

有難うございます。 お陰様で漸く納得できました。m(＿ ＿)m

その他の回答 (2)

回答No.2

互いに素な集合の場合を示せば十分だということです。 確かに、σ集合体の定義では、各番号でMに入っているならば可算和集合も入っているですが, ＵE_i=ＵF_i　　(F_jはjに関して互いに素) のように取り直してあげるのです。 そしてＵF_i \in Mを示せばいいということです。

hhozumi
質問者

お礼

ご回答有難うございます。暫らく考えておりました。 > ＵE_i=ＵF_i　　(F_jはjに関して互いに素) > のように取り直してあげるのです。 p17上部 「Bがσ集合体になる事,及びB上のσ加法性を示す。{A_n}⊂Bを互いに素とする。 まず,∪[i=1..n]A_n∈Bより m*(E)=m*(E∩(∪[i=1..n]A_i))+m*(E∩(∪[i=1..n]A_i)^c)」 を拝見しておりますと ＵE_i=ＵF_i　　(F_jはjに関して互いに素) でF_i∈Mになるように書いてあります。 任意にE_i∈M (i∈N)を取った時, F_i (i∈N)をＵE_i=ＵF_i　(F_jはjに関して互いに素)となるように取り直して しかもF_i∈Mとできる保証はどうやって言えるでしょうか? 単に互いに素になるようにとればいいのなら単純に F_1:=ＵE_i, F_2=F_3=…=φと取れば F_i (i∈N)は互いに素ですけど ＵF_i∈Mとなるかどうかは分かりませんよね。 任意のE_i∈M (i∈N)に対して ＵE_i=ＵF_i 且つ F_iは互いに素 且つ F_i∈M となるF_iの取り方をお教え下さい。m(＿ ＿)m

回答No.1

P16～17に書いてありましたんで、もし良かったら参考にして下さい。

参考URL：
http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h19/2007kuwabara.pdf
hhozumi
質問者

お礼

有難うございます。 > P16～17に書いてありましたんで、もし良かったら参考にして下さい。 > http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h19/2007kuwabara.pdf? 「残っているのは互いに素な…」とありますが σ集合体の3つ目の定義は 「(iii) E_i∈M (i∈N)⇒∪[i∈N]E_i∈M」 で互いに素な任意個の和集合がMの元になるのではなく、単に 任意個の和集合がMの元になるのではなかったでしょうか?

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