任意のBorel集合で恒等的に０となる測度について

質問

質問させていただく前に、必要なことを先に述べたいと思います。

μ_1を質問のタイトルで述べた(R^NのBorel集合族B’の元に対して０となる）測度とし、R＾NにおけるLebesgue測度をμ、その可測集合をM’と置き、また∀E⊂R^Nに対し、λ_1（E）＝inf[E⊂B∈B’]{μ_1(B)}（μ_1から導かれる外測度）、その可測集合をM_1’と置きます。

　このとき、μ_1が恒等的に０であるからλ_1もすべての部分集合E⊂R^Nに対して0となり、よって
∀A⊂R^N s.t. λ_1（A) = λ_1(A∩E）　＋　λ_1(A∩E^c) (E^cはEの補集合）
が成り立つので、任意のE⊂R^Nがλ_1可測になり、M_1’＝｛E｜E⊂R^N}となると思います。
一方、Lebesgue可測集合M’はR＾Nの部分集合すべてを含むとは言えませんので（Cantor集合がその一つです。）、M’≠M_1’（かつM’⊂M_1’）が成り立ちます。

僕が読んでいる教科書（伊藤先生のルベーグ積分入門）では上の記述でM’＝M_1’と書かれて、そこから論理を展開しているようなのですが、僕は上のようなことがあるのでこれはおかしいのではないかと思いました。僕が確認したいのは、上のような論理が正しいかどうかということなのですが、どなたか確認お願いできますでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

kazuma1956

解答ではないのですが

伊藤清三著「ルベーグ積分入門」（ショウカボウ）でしょうか。
確認したいので、ページ番号を教えてください。

とりあえず、「お礼」の形でページ番号を教えていただければ調べてみます。

回答No.1

ramayana

ぱっと見て、M’≠M_1’は至極当然のような気がします。

ただ、お使いのテキストで本当にM’＝M_1’とされているかどうかは、確認できません。

お礼

ご回答ありがとうございます！
参考にさせていただきます。